1、中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题 第I卷选择题（共60分）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，呈现了“注重学生对基本概念的理解”，“注重探索类问题”、“稳中求变、稳中求新”的几个特点，同时依旧“不追求题目的计算量”、“不强调死记硬背的结论”。试题体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，应当说是一份很优秀的试题. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）【题文】1.己知集合，则下
2、列结论正确的是 A. B.3B C. D. 【知识点】集合.A1【答案解析】D解析：解：|x|0，|x|11；A=y|y1，又B=x|x2AB=x|x2=B 【思路点拨】先求出集合A，从而找出正确选项.【题文】2.己知其中i为虚数单位，则a+b= A.-1 B. 1 C. 2 D3【知识点】复数代数形式的混合运算.L4【答案解析】B解析：解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1故选B 【思路点拨】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果.【题文】3.设随机变量服从正态分布N(3，4
3、)，若，则实数a的值为 A. B. C. D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.I3【答案解析】A解析：解：随机变量服从正态分布N（3，4），P（2a3）=P（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故选A 【思路点拨】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可.【题文】4某程序框图如右图所示，则输出的n值是 A. 21 B 22 C23 D24【知识点】程序框图.L1【答案解析】C解析：解：执行程序框图，有p=1，n=2第一次执行循环体，n=5，p=11p40不成立，
4、第2次执行循环体，n=11，p=33p40不成立，第3次执行循环体，n=23，p=79p40成立，退出循环，输出n的值为23故选：C 【思路点拨】行程序框图，写出每次循环n，p的值，当p40时退出循环，输出n的值为23.【题文】5己知函数，则函数的零点所在的区间是 A.(0,1) B (1,2) C.(2,3) D(3,4)【知识点】函数零点的判定定理.B9【答案解析】B解析：解：f（1）=ln1=0，f（2）=ln2=ln0，f（1）f（2）0，故选：B 【思路点拨】将x=1，x=2代入函数的表达式，从而得出f（1）f（2）0，进而求出零点所在的区间.【题文】6.如图，在边长为e（e为自然对
5、数的 底数）的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为 A. B. C. D.【知识点】几何概型.K3【答案解析】C解析：解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，阴影部分的面积为2（eex）dx=2（exex）=2，边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，落到阴影部分的概率为故选：C 【思路点拨】用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【题文】7.若，是第三象限的角,则= A. B. C. D-2【知识点】三角函数的化简求值.C7【答案解析】D解析：解：由 ，是第三象限的角，可得 .，故选：D 【思路点拨】将表达式式 中的正切化成正余弦，由，求
6、出，即可得到结论.【题文】8.已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，a=A. B. C. 1 D. 2【知识点】简单线性规划.E5【答案解析】B解析：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选B 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可.【题文】9.已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为 递增数列，则实数的取值范围为 A. (-15,+) B-15,+) C.
7、-16,+) D. (-16,+)【知识点】等差数列与等比数列.D2,D3【答案解析】B解析：解：an=2n+，a1=2+，Sn=n2+（+1）n，由二次函数的性质可知7即可满足数列Sn为递增数列，解不等式可得15故选：B 【思路点拨】利用函数的单调性，列不等式即可求解.【题文】10若，则等于 A B-l C. D【知识点】二项式定理.J3【答案解析】A解析：解：由于（23x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x）5的展开式的各项系数和，令x=1，可得（2+3x）5的展开式的各项系数和为55，故选：A
8、 【思路点拨】由题意可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x）5的展开式的各项系数和，令x=1，可得（2+3x）5的展开式的各项系数和.【题文】11”a0时，有，则下列结论一定成立的是 A B C. D【知识点】导数的运算.B11【答案解析】B解析：解：x0时，有g（x）=2x2，g（x）=x3，g（2）=，g（1）=，故选B【思路点拨】. 利用g（x）=2x2，可得g（x）=x3+c，c必须为0，不然的话当x趋于0的时候无穷大，得到g（x）的解析式求值 第卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）【
9、题文】13设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为_.【知识点】由三视图求面积、体积.G2【答案解析】4解析：解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于243=4故答案为：4 【思路点拨】三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可.【题文】14.如果双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离 心率为_.【知识点】双曲线的简单性质.H6【答案解析】3解析：解：取双曲线=1（a0，b0）的渐近线y=，联立，化为渐近线与抛物线y=x2+2相切，=0双曲线的离心率e=3故答案为：3 【思路点拨】把双曲线的渐近线与抛物线的方程联立，利用=0及双曲线的离心率计
10、算公式即可得出.【题文】15已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是BC边上 靠近点B的三等分点，AEBD，则BC长度的取 值范围是_.【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.H4【答案解析】（1，）解析：解：如图所示，建立直角坐标系设A（a，b），C（c，0），则E，D（a+c，b）AB=1，AEBD，kBDkAE=，化为a2+b2=1，=0，0a1，c0解得故答案为：（1，） 【思路点拨】建立坐标系，利用AB=1，AEBD，可得，kBDkAE=，化简整理即可得出.【题文】16己知函数，为的等差数列，则_.【知识点】数列的求和.D4【答案解析】100解析：解：an为a1=1，d=2的等差
11、数列，an=1+2（n1）=2n1又f（x）=，f（x）+f（20x）=f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=f（1）+f（3）+f（17）+f（19）=520=100故答案为：100 【思路点拨】由已知写出等差数列的通项公式，然后由f（x）=得到f（x）+f（20x）=20，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）可求.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【题文】17（本小题满分12分） 在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量 ，且(I)求角A的大小及向量与的夹角；(II)若，求ABC面积的最大值【
12、知识点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角.F3【答案解析】(I) (II) 解析：解：（1）因为角为锐角，所以，3分根据.6分(2)因为，得：9分即面积的最大值为 【思路点拨】（I）在ABC中，由=求得cos2A=，可得再根据 求得向量与的夹角.【题文】18.（本小题满分12分） 设X为随机变量，从棱长为a的正方体,的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积(I)求概率P(X=0)；(II)求X的分布列，并求其数学期望E(X)【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率.K6,K7【答案解析】(I) P(X=0)= (I
13、I)略.解析：解：（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).则P(X=0)=. 4分（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:四点在相对面且异面的对角线上,体积为这样的取法共有2种.6分四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.这样的取法共有种 8分X的可能取值是0，9分X的分布列为X0数学期望E(X)=. 【思路点拨】（1）求出从正方体的八个顶点中任取四个点，共有=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，即可由概率公式求得概率（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：四点在相对面且异面
14、的对角线上；四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望.【题文】19（本小题满分12分） 己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形侧棱PA底面ABCD，其中BC=2,AB=2PA=6，M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如右图所示：(I)求证：AN平面MBD；(II)求二面角B-PC-A的余弦值【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定G10【答案解析】(I)略(II) 解析：解：.（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，底面ABCD为矩形，O为AC中点，M、N为侧棱PC的三等份点，CM=CN，OM/AN， OM平面
15、MBD，AN平面MBD，AN/平面MBD 4分（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),设平面的法向量为,，并且,，令得,平面MBD的一个法向量为,6分设平面法向量为,同理可得8分10分由图可知,二面角为锐角,QxPABOy二面角的余弦值为 【思路点拨】）连结AC交BD于O，连结OM，利用直线与平面平行的判定定理证明：AN平面MBD；（）设平面BCP的法向量为，利用向量的垂直关系，求出法
16、向量，同样求出平面PAC法向量，利用空间向量的数量积，直接求解二面角BPCA的余弦值.【题文】20.（本小题满分I2分） 己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4(I)求动点P的轨迹的方程；(Il)过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积【知识点】轨迹方程.H9【答案解析】(I) (II) 解析：解：(1)不妨设点在点左侧，则设，则整理得：所以动点的轨迹C2的方程为-(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C2的方程，整理得
17、(k24)x22k2xk240.(*)设点M的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xM，从而yM，点M的坐标为. -7分同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)由题意可知AMAQ，且，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.-10分所以的面积为.12分答案： 【思路点拨】(）利用点P与A，B连线的斜率之积为4，建立方程，即可求动点P的轨迹C2的方程；（）其方程为y=k（x1）（k0），代入上半椭圆C2的方程，求出点M的坐标，同理得出点Q的坐标，利用AMAQ，可得，即可求出AMQ的面积.【题文】21 （本小题辅分12分） 已知函数(d为常数）(I)当
18、a=l对，求单调区间；(II)若函数在区间(0，1)上无零点，求a的最大值【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点.B3,B12【答案解析】(I) 的单调递减区间为，单调递增区间为(II) 的最大值为2.解析：解：（）当时，函数，由得，由得故的单调递减区间为，单调递增区间为 5分（）若函数在区间上无零点，则对，恒成立或者恒成立.由，得，故若，恒成立；若，所以，函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立. 8分，当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，在区间上单调递增；此时，构造，故，所以当时，即对，不恒成立，舍去；10分当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，
19、故，满足对，恒成立，综上，即的最大值为2.【思路点拨】（1）当a=l对，函数f（x）=a（x1）2lnx=x12lnx，直接求导用导数研究单调性即可（2）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，则对x（0，1），f（x）0恒成立或者f（x）0恒成立首先证明a0，f（x）=a（x1）2lnx0恒成立；其次证明函数f（x）0在区间（0，1）上不可能恒成立，只有使对x（0，1），f（x）0恒成立从当a2，当a2两种情况入手.【选做题】 请考生在22、23. 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号【题文】22（本小题满分10分）选修4-l：几何证明选讲 如图，O是ABC
20、的外接圆，D是的中点，BD交AC于E(I)求证：(II)若，O到AC的距离为1，求O的半径r【知识点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质.N1【答案解析】(I)略(II) r3解析：解：)证明：由D为中点知，ABDCBD，又ABDECD，CBDECD，又CDBEDC，BCDCED，DC2DEDB；5分(2)D是的中点，ODAC，设OD与AC交于点F，则OF1，在RtCOF中，OC2CF2OF2，即CF2r21，在RtCFD中，DC2CF2DF2，(2)2r21(r1)2，.r3. 【思路点拨】（I）先证明BCDCED，可得，从而问题得证； （II）ODAC，设垂足为F，求出
21、CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得O的半径.【题文】23（本小题满分l0分）选修44：坐标系与参数方程 己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1(I)求m：(II)若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值【知识点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.N3【答案解析】(1)-1或3(2)解析：解：（1）M(0，m),直线l的一般方程M到直线的距离为4分(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故.将直线l的一个标准参数方程为代入得故,= 【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式即可得出；（2）当m=3时，直线与抛物线不相交，舍去当m=1时，抛物线的方程为
22、y=x21将直线l的一个标准参数方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系及其参数的意义即可得出.【题文】24 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为(I)求长方体体积的最大值：(II)设，求的最大值【知识点】柯西不等式；平面向量数量积的运算.N4【答案解析】(I) (II)12解析：解:(1)由题意可知 ，由三个正数的基本不等式可得 ，即 ，所以长方体体积的最大值;5分 (2)，根据柯西不等式，有， 当且仅当“”即“”时，取得最大值12. 【思路点拨】（1）由题意可知 a0，b0，c0且a2+b2+c2=9，利用基本不等式求得 abc3，从而求得长方体体积的最大值（2），根据柯西不等式，即，从而得到的最大值