1、高三数学12月月考试卷考试范围：一轮复习前八章考试时间：120分钟一单选题1. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再根据补集定义即可求出.【详解】，所以故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题3. 已知，则（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数诱导公式进行求解.【详解】，.故选：B【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.4. 若数列的通项公式是，则（ ）A. 45B. 65C. 69D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而可得，进而可得答案【详解】因，所以，则 ，故选：B【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求，再求即可【详解】解：由已知，则故选：B【点睛】本题考查分段函数的求值，是基础题6. 已知则关于a的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、【分析】分析函数单调递增，解不等式等价于解：，即可得解.【详解】由题：，当时，且单调递增；当时，且单调递增，所以在单调递增，解不等式等价于解：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.属于较易题.7. 已知函数，若方程在有四个不同的解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数，都是偶函数，方程在有四个不同的解，只需图象在两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数，都是偶函数，所以方程在有四个不同的解，只需在
4、上，的图象在两个不同的交点，不合题意，当时，当，即交点横坐标在上，假定两函数的图象在点处相切，即两函数的图象在点处有相同的切线，则有，则有，解得，则有，可得，则有，解得，因为越小开口越大，所以要使得， 在上，恰有两个不同交点，则的取值范围为，此时，的图象在四个不同的交点，方程在有四个不同的解，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】函数的性质以及函数零点问题是高考的高频考点，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y = f(x)与y = g(x)的交点.8. 已知双曲线：（，），过的右焦点作垂直于渐近线的直线
5、交两渐近线于，两点，两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为.将渐近线方程化为一般式为，双曲线满足，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知，根据题意，则，设，由双曲线对称性可知，而，由正切二倍角公式可知，即，化简可得，由双曲线离心率公式可知，故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用
6、，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.二多选题9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 直线是图象的一条对称轴C. D. 为奇函数【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B、C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 .对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；对于B、C选项，B选项错误，C选项正确；对于D选项，函数的定义域为，所以，函数为奇函数，D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦型函数基本性
7、质的判断，同时也考查了三角函数图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若在上的投影为，则向量与的夹角为C. 存在，使得D. 的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】若，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若在上的投影为，且，故当，故C正确； ， 的最大值为，故D正确.【详解】若，则，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若，若，则，即，故，故C正确； ，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握
8、水平.11. 如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点有下列结论，其中正确的是（ ）A. 与垂直B. 与平面垂直C. 与所成的角为45D. 平面【答案】AD【解析】【分析】过E，F分别作的垂线，垂足为两点，连接，可得，所以直线可转化为直线来求解平行，垂直及所成角问题.【详解】如图：正方体过E，F分别作的垂线，垂足为两点，连接，由题意可得，因为平面，所以即，A选项正确；由题意可得不垂直，所以不垂直平面，即不垂直平面，B选项不正确；因为，连接和，所以为与所成的角，因为所以，C选项不正确；因为，平面，平面所以平面，又平面平面，所以平面，D选项正确；故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，
9、线面平行及线线角的求法，属于较易题.12. 已知抛物线的准线过双曲线()的左焦点，且与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）A. 双曲线的方程为B. 双曲线的两条渐近线的夹角为60C. 点到双曲线的渐近线的距离为D. 双曲线的离心率为2【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线准线过双曲线()的左焦点，得到，再根据与双曲线交于两点，且的面积为，求得双曲线的方程，再逐项验证.【详解】因为抛物线的准线过双曲线()的左焦点，所以，又与双曲线交于两点，所以，所以的面积为，即，解得，所以双曲线的方程为，故A正确；双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的的夹角为60，故B正确；点到双曲线
10、的渐近线的距离为，故C错误；双曲线的离心率为，故正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三填空题13. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率，则第七个单音的频率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
11、比都等于，第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为.故答案为:.【点睛】本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14. 已知的内角，的对边分别为，且，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】已知条件利用余弦定理求得，然后由三角形内角和可得，再由等腰三角形得，再由三角形面积公式求得面积【详解】，故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础15. 如图，正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为_，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为_ 【答案
12、】 (1). 90 (2). 【解析】【分析】取CD中点E，连接AE、BE，作AFBE于点F，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】取CD中点E，连接AE、BE，作AFBE于点F.空1：因为，所以CDAE，CDBE，AEBEE，平面ABE，CD平面ABE，平面ABE，CDAB，异面直线AB与CD所成的角为90；空2：CD平面ABE，平面ABE，CDAF，又AFBE， 平面BCD，AF平面BCD，ABF是直线AB与底面BCD所成角，正四面体ABCD中，因为AF平面BCD，所以
13、点F是三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为a，所以则故答案为：90；【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.16. 已知点是抛物线上动点，且点在第一象限，是抛物线的焦点，点的坐标为，当取最小值时，直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由在准线上，过抛物线上点作垂直与准线，得到，得出最大时即过点的直线与抛物线相切，设出切线方程为，结合判别式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程可得焦点，在准线上，过抛物线上的点作垂直与准线交于点，由抛物线的定义，可得，在中，所以最小时，则最小，此时最大，而最大时即过点的直线与
14、抛物线相切，设过与抛物线相切的直线方程为，联立方程组，整理得，则，解得，又由点在第一象限，所以，所以直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四解答题17. 在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在中，内角，的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选：利用正弦定理和余弦定理可求出角；若选：利用正弦定理和两角和与差
15、公式可得角；（2）利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可【详解】（1）若选：由正弦定理得，所以，由余弦定理得，解得，因为，所以.若选：由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以，所以.（2）由余弦定理得，得，即，解得，则的面积，故的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题18. 已知点，点在圆上运动.（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由设点
16、坐标为则.代入化简可得,由,即可求得求的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,所以圆心到直线的距离为,设直线方程为,即,所以,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.19. 已知数列的前n项和为，满足（1）求证：是常数数列；（2）求和：【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)由得,化简可得即可证得结论;(2)由(1)可求得,利用裂项求和即可得出结果.【详解】解
17、：（1）证明：由得，两式相减得，即，在中，令，得，故，即是常数数列，得证（2）由（1）知，即，【点睛】本题考查利用与的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.20. 如图，四棱锥中，底面，点在线段上，（）求证：平面；（）若，且与平面所成的角为，求二面角的正切值【答案】（）证明见详解；（）【解析】【分析】（）通过证明线线垂直，来证明线面垂直，即平面,平面.（）以为原点建立平面直角坐标系，通过法向量之间的夹角余弦，得到二面角的夹角余弦值，再求出其正切值法二：连接，作于，找到二面角的平面角为，在直角三角形中求出线段长度，求出，即二面角的正切值.【详解
18、】（）证明：平面，平面,平面且平面,平面（）由（）知，为与平面所成的角，所以又,，连接法一：以为原点，,所在直线为，轴建立空间直角坐标系，,由（I）知为平面的法向量且，设平面的法向量为由，得，取，则设所求二面角为，则法二： 作于，由（I）知，平面，平面平面，为所求二面角的平面角在直角三角形中，,21. 已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的
19、，得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，转化为坐标运算，建立等量关系求值.【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点是，则，即，又椭圆的离心率为，即，解可得，则，则故椭圆的方程为.（2）由题意得直线l的方程为由消去y得.由，解得.又，设，则，.则.又由以为直径的圆过原点，则，即即，又即存在使得以为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.22. 设，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，若有两个相异零点，且，求证：.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，
20、的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由，构造，结论，可转化为，构造函数，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1），当时，函数在区间上是增函数；当时，令，解得，则函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.综上得：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由题意得，因为，是方程的两个不同的实数根，所以，两式相减得，解得.要证：，即证：，即证：，即证：，令（因为），则只需证.设，；令，在上为减函数，在为增函数，.即在上恒成立，.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.