1、福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查数学（文）试题（满分：150分；完卷时间：120分钟）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式第卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1是虚数单位，复数在复平面上的对应点所在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第三象限2如图设全集U为整数集，集合则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为A3 B4 C7 D83设命题p：函数的最小正周期为，命题q：函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是Ap为真 B为真 C为真 D为真4对具有线
2、性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为A 210 B2105 C2115 D21255“”是“存在唯一实数，使得=”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6函数的大致图象是7ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则B的大小是ABCD8在区间0，上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为ABCD9若运行如右图所示的程序，则输出S的值是 A B C D10已知函数半个周期内的图象如图所示，
3、则函数的解析式为A B C D11若点A（m、n）在第一象限，且在直线上，则的最小值为ABC4D512能够把圆O：x2 +y2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是 A BCD第卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）13以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准议程为 。14若函数 ，则函数的零点为 。15已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是 。16已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段
4、AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinxl）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（z（0，）的图象上的不同两点，则类似地有_成立三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（本小题满分12分） 已知数列 （I）证明：数列 是等比数列； （）求数列的前n项和18（本小题满分12分） 已知函数（其中o），且函数的最小正周期为 （I）求的值； （）将函数y= f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象求函数g（x）的单调区间19（
5、本小题满分12分）某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：社团泥塑剪纸年画人数320240200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人 （I）求三个社团分别抽取了多少同学；（）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率 20（本小题满分12分） 没椭圆的左、右焦点分别
6、F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，P F1F2的周长为16 （I）求椭圆C的方程； （）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。21（本小题满分14分） 如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为 （I）当时，求直路所在的直线方程； （）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？22（本小
7、题满分14分） 已知函数的图象过点（1，0） （I）求的解析式； （）若为实数）恒成立，求的取值范围；（）当时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数。福州市20122013学年第一学期高三期末质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13 14 1或0 153 16三、解答题（本大题共6小题，共74分.）17（本小题满分12分）解：（）因点在直线的图象上，令，故只需证是等比数列，2分，4分数列是以
8、为首项，3为公比的等比数列.即数列是以为首项，3为公比的等比数列. 6分（）由（）知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，8分9分所以数列的前n项和10分.12分18（本小题满分12分）解：（）因为，2分因为，函数周期为3分所以，所以4分（）由（）知. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数. 8分由，；得由 ；得故函数的增区间为 ;减区间为，.12分19（本小题满分12分）解：（）设抽样比为，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为1分则由题意得，解得2分故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取
9、的人数分别为，4分（）由（）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F6分则从这6位同学中任选2人，不同的结果有A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种8分其中含有1名女生的选法为A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，共8种；10分含有2名女生的选法只有A，B1种故至少有1名女同学被选中的概率为=12分20（本小题满分12分）解：（）设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以，故所求的方程为.6分（）解法一、过点且斜率为的直线方程为， 8分
10、将之代入的方程，得，即.9分因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，10分因为，所以线段中点的横坐标为， 纵坐标为. 11分故所求线段的中点坐标为. 12分解法二、过点且斜率为的直线的方程为，8分因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为，中点M的坐标为则有ks5u 9分由（1）-（2）得，即得，又，11分所以故所求线段的中点坐标为.12分21（本小题满分12分）解：（），yAOBxC过点M 的切线的斜率为, 2分所以过点M的切线方程为，即； 当时，切线的方程为4分（）由（）知，切线的方程为：，令，得故切线与线段AB交点为F，5分令，得故切线与线段BC交点为G6分地块OABC
11、在切线右上部分的区域为一三角形，设其面积为，8分 10分当时为单调递增函数；当时为单调递减函数，当时，的最大值为11分当点M到边OA距离为m时，地块OABC在直路不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为m212分22.（本小题满分14分）解：（）函数的图象过定点（1，0），1分把点（1，0）代入得，所以，2分（）恒成立，即恒成立，得，因为，所以，3分令，4分当时，所以在为减函数；5分当时，所以在为增函数； 6分的最小值为，故 ；7分（）由（）知，所以所以又，由得，9分（1）当时，得，在（0，2）为增函数，无极值点；10分（2）当且时，得且，根据的变化情况检验，可知有2个极值点；12分（3）当或时，得或时，根据的变化情况检验，可知有1个极值点；13分综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点 14分