1、江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高一数学下学期六月质量检测试题（15.16班，含解析）一、单项选择题1. 若数列an为等比数列，则“a2，a4是方程x23x+10的两根”是“a31”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由a2，a4是方程x23x+10的两根，得到1，求得a31；反之，满足a31的一元二次方程有无数个，即可判定【详解】由题意，数列an为等比数列，因为“a2，a4是方程x23x+10的两根”，所以1，可得“a31”；反之，满足“a31”的一元二次方程有无数个，所以“a2，a4是方程x23x+10
2、的两根”是“a31”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答熟练应用一元二次方程根与系数的关系，以及等比数列的中项公式是解答的关键，着重考查推理与论证能力.2. 为了认真贯彻落实关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在2，3)，3，4)，4，5)，8，9)，9，10)（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘
3、制成频率分布直方图（如图）.由图中数据估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5，6)的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合频率和为1可得，再由样本估计总体即可得解.【详解】由题意，解得，所以样本中每天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5，6)的频率为，所以可估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5，6)的概率为.故选：C.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了样本估计总体的应用，属于基础题.3. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫
4、”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（ ）A. “宫、商、角”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】分析】根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案；【详解】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；最后“羽”经
5、过一次“益”，可得“角”的频率是，由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列故选：A【点睛】本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4. 已知点，过的直线与抛物线相交于两点.若为中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为、，由题意结合抛物线的定义可得，由平面几何知识即可得解.【详解】由题意抛物线的焦点为，准线方程为，过点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为、，如图：因为为中点，所以,由抛物线定义可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
6、5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为点在的渐近线上，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示，不妨设是渐近线在第一象限上的点，根据，可得的关系，再代入离心率公式，即可得答案；【详解】不妨设是渐近线在第一象限上点，因为，所以又在渐近线上，所以可得点的坐标是，所以在直角三角形中，所以，即所以故选：B【点睛】本题考查双曲线离心率求解、渐近线的概念，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6. 若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两直线垂直求出，再利用基
7、本不等式求出的最大值【详解】解：由直线与直线互相垂直所以即又a、b为正实数，所以即，当且仅当a，b时取“”；所以的最大值为故选：B【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.7. 已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设，根据点到直线的距离公式得出，再结合点在圆上，得出，联立两式，求解方程组，即可得出答案.【详解】设，由点P到直线的距离为，得两边平方整理得到在圆上，即联立得解得或当时，由可得，解得或，即或当时，由可得，解得或，即或综上，满足条件的点P的个数为个故选：C
8、【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题.8. 已知棱长为2的正方体中，E为DC中点，F在线段上运动，则三棱锥的外接球的表面积最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，易知为的外心，取的中点，连接，取的中点，连接，由正方体的性质可得三棱锥的外接球球心在直线上，连接，取的中点，连接、，易知当即点与重合时，即外接球半径最小，设，根据求得，进而可求得外接球半径，即可得解.【详解】取的中点，易知为的外心，取的中点，连接，取的中点，连接，由正方体的性质可得平面，则三棱锥的外接球球心在直线上，连接，取的中点，连接、，由中位线的性质可
9、得且，所以，所以平面，若要使三棱锥的外接球的表面积最小，则要使其半径即最小，易知当即点与重合时，最小，设，由题意，则，由可得，化简可得，此时，三棱锥的外接球的半径满足，所以三棱锥的外接球的表面积最小值.故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用及三棱锥外接球体积的求解，考查了线面垂直的性质和判定，属于中档题.二、多项选择题9. 已知，则下列条件中是成立的必要条件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值判断AC，根据指数函数的单调性判断B，利用基本不等式判断D；【详解】解：当，满足，但不成立，故A错误；因为，在定义域上单调递增，所以，故B正确；当，时，满足，
10、但不成立，故C错误；因为，则，因为，所以，所以所以，所以，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查不等式大小比较，属于中档题.10. 原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图下列说法正确的是（ ）A. 2008年原油价格波动幅度最大B. 2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C. 2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D. 2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶【答案】AC【解析】【分析】结合2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 2
11、008年原油价格波动幅度最大,因为2008年原油价格最低点最低，最高点最高，所以该命题正确；B. 2008年至2019年，原油价格平均值不断变小是错误的.如：2009年和2010年，2010年的最高点大于2009年的最高点，2010年的最低点高于2009年的最低点，所以2010年的原油价格的平均值高于2009年原油价格的平均值，所以该命题不正确；C. 2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值.因为2013年的最高点大于2018年的最高点，2013年的最低点高于2018年的最低点，所以2013年的原油价格的平均值高于2018年原油价格的平均值，所以该命题正确；D. 2008年至2
12、019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶是错误的.如2008年原油价格波动幅度明显高于20美元/桶，所以该命题不正确.故选：AC【点睛】本题主要考查对比图的分析，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 已知为两条不同直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】CD【解析】【分析】由题意结合线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得解.【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或、相交，故B错误；对于C，若， ，则，又，所以，故C正确；对于D，若，则或，又，所以，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了线线、线面、面
13、面位置关系相关命题的判断，属于基础题.12. 已知曲线：，点在曲线上，则下列结论中正确的是（ ）A. 曲线关于坐标轴对称B. 曲线上的点的横坐标的取值范围是C. 若，则存在点，使的面积大于D. 点一定在椭圆外【答案】AB【解析】【分析】A根据对称性的特点，用代替，代入曲线中，若等式依然成立，则关于轴对称；用代替代入曲线中，若等式依然成立，则关于轴对称； B列出不等式，解之即可得横坐标的取值范围；利用解三角形及二次函数的性质判断C；根据特殊点判断D；【详解】对于A，用代替，有成立，用代替，得即A正确；对于B，故，即，即，解得，即B正确；对于C，依题意可得如下图形设，则，由余弦定理可得，令，所以，
14、因为在上单调递减，所以，因为，故不存在点符合题意，即C错误当时，故曲线过，但，在椭圆上，故D错误；故选：AB【点睛】本题考查曲线与方程，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题三、填空题13. 命题，则命题的否定是_.【答案】，【解析】【分析】由题意结合全称命题的否定即可得解.【详解】因为命题为全称命题，所以命题的否定是，.故答案为：，.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.14. 某校有，两个学生食堂，若，三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为_.【答案】【解析】【分析】求出所有可能的情况总数,进而求得在同一食堂用餐的概率,
15、再利用对立事件的概率公式求解三人不在同一个食堂用餐的概率即可.【详解】由题意可知,所有可能的情况共有种,其中在同一食堂用餐的情况有2种.故三人不在同一个食堂用餐的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意求出所有可能的情况,再求出对立事件的概率进行计算.属于基础题.15. 已知，且，若，则的最小值为_.【答案】25【解析】分析】由题意,再根据换元令,代入展开利用基本不等式求最小值即可.【详解】由题, ,设则.当且仅当时取等号.故答案为：【点睛】本题主要考查了换元法利用基本不等式求解最小值的问题.需要根据题中所给的形式换元,结合基本不等式求最小值.属于中档题.16. 已
16、知圆，定点，动点、在圆上，则的最大值为_，若，则的最大值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据圆性质可得的最大值为圆心到定点A的距离加半径，计算即得结果；设中点为,根据条件确定轨迹，即得最小值，再根据垂径定理求的最大值.【详解】因为动点在圆上，所以的最大值为;设中点为,则，即轨迹为直线在圆及其内部的一条线段；因为圆心到直线距离最小值为，所以，即的最大值为.【点睛】本题考查点与圆位置关系、直线与圆位置关系、垂径定理，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题17. 已知公差不为零的等差数列满足是与的等比中项（1）求的通项公式；（2）是否存在值，使得的前项和？【答案】（1）（2）
17、存在【解析】【分析】（1） 由，是与的等比中项，可算得d，进而可求得的通项公式；（2） 列出等式求解，即可得到本题答案.【详解】解：（1）设的公差为，因为是与的等比中项，所以因为，所以，解得，所以（2）因为，令，则，解得所以存在为6，使得的值为27【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合问题，属基础题.18. 如图，在四棱锥中，平面，为中点，_，求证：四边形是直角梯形，并求直线与平面所成角的正弦值.从；平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；【答案】证明见解析；.【解析】【分析】选择，由线面垂直的性质得，根据勾股定理得，得，再，又，可得，可得证四边形是直角梯形；再求直线与平面
18、所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，由线面垂直的性质，如图建立空间直角坐标系Axyz，由线面角的向量求法可求得直线与平面所成的角的正弦值.选择，同得，再由线面平行的性质可证得，可证得四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，同上.【详解】选择，先证：四边形是直角梯形，因为平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，面，则，又，所以，又，所以，所以四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，因为平面，如图建立空间直角坐标系Axyz，则，因为E为PB的中点，设平面PCD的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦
19、值为.选择，先证：四边形是直角梯形，因为平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，面，则，又平面，平面，面面，所以，又，所以，所以四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角正弦值，同上.【点睛】本题考查空间中的线面垂直的判定和性质，线面平行的性质等运用，证明空间的线线平行，运用向量法求线面角的问题，属于中档题.19. 如图，在四棱柱中，点和分别为和的中点,侧棱底面.（1）求证：/平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意,以为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明与平面的法向量垂直,来证明/平面.（2）根据（1）中建立的平面直角坐标
20、系,分别求得平面的法向量与平面的法向量,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.【详解】（1）证明：根据题意,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立如下图所示的空间直角坐标系: 点和分别为和的中点, ,则,则,则所以依题意可知为平面的一个法向量而所以又因为直线平面所以平面（2）设为平面的法向量,则,即不妨设,可得设为平面的一个法向量,则,又,得不妨设,可得因此有,于是所以二面角的正弦值为【点睛】本题考查了利用空间直角坐标系,证明直线与平面的平行,利用法向量求平面与平面的夹角,属于基础题.20. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB
21、为直径作圆，记为,与抛物线C的准线始终相切.（1）求抛物线C的方程；（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得，即可得A，B，F三点共线，即可得解；（2）设直线，联立方程可得、，利用弦长公式可得，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.【详解】（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，设抛物线焦点为F，由题意知圆M的半径，且，即可得，所以A，B，F三点共线，即，所以，所以抛物线C的方程为；（2）由（1）知抛物线，设直
22、线，点，联立可得：，所以，所以，则，故点N到直线AB距离又，所以，当时，取最小值为32.故所求三角形面积的取值范围.【点睛】本题考查了抛物线方程的确定及性质的应用，考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21. 为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示患感冒人数不患感冒人数合计男生3070100女生4258合计200表1温差x678910男生感冒的人数y810142023表2（1）写出的值； （2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”
23、具有相关性；（3）根据表2数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）附：参考公式：，0.250.150.100.0500.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635，【答案】（1）；（2）没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3），与的线性相关性很强【解析】【分析】（1）利用列联表中的数据求解.（2）根据公式求得值，再与临界表对比求解.（3）利用平均数公式求得，得到，再求得相关系数与，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱对
24、比下结论.【详解】（1）根据表中数据可得：.（2）依题意，所以没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性（3）依题意，所以，则故说明与的线性相关性很强【点睛】本题主要考查独立性检验以及线性相关问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22. 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.（）求椭圆C的方程；（）求直线l的斜率k的取值范围；（）设，求的取值范围.【答案】（）（）（）【解析】【分析】（）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，解得b，进而得椭圆C的方
25、程.（）设直线l的方程为，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.（）因为，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，代入，得.同理.由（）得，代入，化简再求取值范围.【详解】（）因为椭圆C：经过点，所以解得.由的面积为可知，解得，所以椭圆C的方程为.（）设直线l的方程为，.联立，消y整理可得：.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得.因为，所以k的取值范围是.（）因为，.所以直线的方程是：.令，解得.所以点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.所以，.由，可得：，所以.同理.由（）得，所以所以的范围是.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.