1、第1讲平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a平行的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A
2、n1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则1.1给出下列命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则四边形ABCD为平行四边形；在ABCD中，一定有；若mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A2 B3 C4 D5答案B解析两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确，
3、正确的是.故选B.2在ABC中，已知M是BC的中点，设a，b，则()A.ab B.abCab Dab答案A解析因为ab.故选A.3(2021安徽亳州模拟)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析2a6b2，与共线，与有公共点B，A，B，D三点共线故选B.4设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是()；()；.A1 B2 C3 D4答案C解析由向量加法的平行四边形法则，知，()是正确的；由向量减法的三角形法则，知是正确的；因为，的大小相同，方向相反，所以是错误的故选C.5(202
4、1江西省名校联考)在ABC中，2，则等于()A B. C D.答案A解析因为，2，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选A.6已知ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且a，b，则 ， (用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.考向一平面向量的概念例1给出下列命题：若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是 答案解析对于，若b0，则a与c不一定共线，是假命题对于，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行
5、四边形，是真命题对于，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件，是假命题对于，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线，是假命题平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量1.设a0为单位向量，有下列命题：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若非零向量a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0
6、平行且|a|1，则aa0.其中假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若非零向量a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D.2下列五个命题：温度有零上和零下之分，所以温度是向量；向量ab，则a与b的方向必不相同；|a|b|，则ab；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量一定是平行向量其中正确的是()A B C D答案C解析温度虽有大小却无方向，故不是向量，错误；ab，
7、a与b的方向可以相同，错误；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，错误；正方形ABCD中与共线，但A，B，C，D四点不共线，错误；作图易得正确故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二平面向量的线性运算角度向量加减法的几何意义例2(1)(2022江西南昌模拟)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下列结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab答案B解析由已知a，b不共线，在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|，知|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选B.(2)(2022广西柳州模拟)若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为 答案直
8、角三角形解析因为2，所以|，即0，故，ABC为直角三角形角度平面向量线性运算例3(1)(2021安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.A B C D答案C解析由ab，知ab，正确；由ab，知ab，错误；b，故ab，正确；2bab，错误故选C.(2)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.答案B解析因为2，所以2.又因为M是BC的中点，所以()().故选B.角度利用线性运算求参数例4(1)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A2 B3 C2 D3答案D解析由可知()，又，解得3.故选D.(2)(2022四川南充诊断考试)如图所
9、示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B. C1 D.答案A解析()，所以，故22.故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解3.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设a，b，c，d，则()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0答案B解析如图所示，ab，cd，四边形ABCD是平行四边形，AB綊DC，且
10、与反向，即0，也就是abcd0.故选B.4如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则()A.B.C.D.答案D解析根据题意得()，又因为，所以.故选D.5(2021河南洛阳模拟)在ABC中，点G满足0.若存在点O，使得，且mn，则mn等于()A2 B2 C1 D1答案D解析0，0，()，可得，m，n，mn1.故选D.考向三共线向量定理的应用例5(1)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A BC D不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又因为3e12e2，ke1e2，3e1
11、2ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，所以解得k.故选A.(2)已知平面内的三点A，B，O不共线，且，则A，P，B三点共线的一个必要不充分条件是()A B|C D1答案B解析A，P，B三点共线，即存在一个实数m，使得m，m，即m()，(m)(m)，A，B，O三点不共线，m0，m0，即m，A，B，P三点共线的充要条件为，结合各选项知A，B，P三点共线的一个必要不充分条件为|.故选B.(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线根据A，B，
12、C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线存在实数，对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足(1)6.(2021山西师大附中模拟)在ABC中，P是直线BN上一点，若m，则实数m的值为()A4 B1 C1 D4答案B解析，5.又m，m2，由B，P，N三点共线可知，m21，m1.故选B.7已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 B C. D2答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b
13、不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.故选B.1如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.B.C.D.答案D解析对于A，错误；对于B，2，错误；对于C，错误；对于D，正确故选D.2已知向量i与j不共线，且imj，n ij，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案C解析由A，B，D三点共线，可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.故选C.3(2021河南焦作高三月考)ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若a，b，|a|1，|b|2，则()A.ab B.
14、abC.ab D.ab答案B解析CD为ACB的角平分线，由角平分线定理，得，ab，ab，babab.故选B.4设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab答案C解析“0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”故选C.5(2022云南昆明摸底)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.答案A解析设a，b，则ba，ab，从而(ab).故选A.6. (2021皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A. BC D.答案B解析如图，连接
15、AC，根据平面向量的运算法则，得，.因为，所以.故选B.7. 如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aab B.abCab D.ab答案D解析如图，连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB，且a，所以ba.故选D.8设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2C3 D4答案D解析()()224.故选D.9(2022山西太原模拟)已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A. B. C. D.答案B解析设E是BC边的中点，则()，由题意得，所以()，又因为B，O，D三点
16、共线，所以1，解得t.故选B.10ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B. C. D.答案C解析因为，所以，所以22，即P是AC边的一个三等分点，且PCAC，由三角形的面积公式可知，.故选C.11. (2021安徽滁州模拟)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设x1y1，x2y2，则()A. B2C. D.1答案C解析由
17、题意，得()，().x1y2，x2y1.故选C.12. 如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：2；.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是()A B C D答案B解析如图1，在ON上取点C，使得OC2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；如图2，取线段OA上一点E，使AEOA，作EFOB，交AB于点F，则EFOB，由于EFOB，所以的终点不在阴影区域内，排除D.故选B.13设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数 .答案解析ab与a2b平行，存在实数k，使abk(a2b)，(k)a(12k)b0.a与
18、b不平行，解得.14. (2022甘肃嘉峪关市模拟)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为 答案2解析解法一：点O是BC的中点，().M，O，N三点共线，1.mn2.解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时mn1，mn2.15在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状是 答案矩形解析由向量加法的平行四边形法则可知，|，|，即平行四边形ABCD的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形16(2021山东德州模拟)在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是
19、答案0解析由题意可求得AD1，CD，2.点E在线段CD上，(01)，又2，1，即.01，0.17. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M，N，C三点共线证明设a，b，在ABD中，ba.点N是BD的三等分点，(ba)b，(ba)bab.M为AB的中点，a，()ab.由可得，故，又与有公共点C，M，N，C三点共线18. 如图，已知OCB中，点A是BC的中点，点D在OB上，且，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求的值解(1)因为点A是BC的中点，所以()，从而22ab.因为，从而2abb2ab.(2)由于C，E，D三点共线，则，又2aba(2)ab，2ab，从而(2)ab，又a，b不共线，则所以.