1、第1讲函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xAf：AB2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3函数的三要素：
2、定义域、对应关系和值域4相等函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，则这两个函数相等这是判断两函数相等的依据5函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法6分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.1函数问题允许多对一，但不允许一对多与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点2若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个3分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数1集合Ax|0x4，By|0y2，
3、下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xy答案C解析依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合2函数f(x)的定义域为()A(1，0)(0，1 B(1，1C(4，1) D(4，0)(0，1答案A解析要使函数f(x)有意义，应有解得1x0或00且1x1，解得x1且x0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)，故选B.考向一函数的概念例1(1)下列对应是否是从集合A到集合B的函数？AN，BN，f：xy(x1)2；AN，BR，f：xy.解是集合A到集合B的函数不是集合A到集合B的函数，因为从A到B的对应为“一对多”(2)
4、以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？f1：y，f2：y1，f3：yx0；f1：y，f2：y()2，f3：y解不是f1(x)与f3(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R.不是f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为xR|x0，f3(x)的定义域为xR|x0函数的含义及判断两个函数相等的方法(1)函数的含义A，B是非空的实数集函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素在集合A中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问题时游刃有余(2)判断两个函数相等的方法构成函数的三要素中，定义域
5、和对应关系相同，则值域一定相同两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相等函数1.下列对应是否是从集合A到集合B的函数？(1)AN，BQ，f：xy；(2)A衡中高三一班的同学，B0，150，f：每个同学与其高考数学的分数相对应解(1)当x1时，y值不存在，故不是集合A到集合B的函数(2)不是集合A到集合B的函数，因为集合A不是数集.2以下三个函数是否表示同一函数？为什么？f1：yf2：xx11x1，故函数f(x)ln x的定义域为(1，).故选B.4(2022天津武清杨村一中月考)函数f(x) 的定义域是()A BC D(，1)答案A解析要使函数f(x)有意义，应满足解得0x，故选A.角度
6、求抽象函数的定义域例3(1)已知函数f(x)的定义域为(1，1)，则函数g(x)ff(x1)的定义域为()A(2，0) B(2，2)C(0，2) D答案C解析由题意得0x2，函数g(x)ff(x1)的定义域为(0，2)，故选C.(2)(2021河南洛阳模拟)已知函数f(2x1)的定义域为(1，2)，则f(23x)的定义域为 答案解析由函数f(2x1)的定义域为(1，2)得1x2，32x13.由323x3得x0，1x0，即f(x)的定义域为(1，0).12x10，则1x0恒成立当a0时，不等式为20，恒成立；当a0时，要使不等式恒成立，则即解得0a.由得0a0得2xa，即x1)解析令1t，由于x
7、0，所以t1且x，所以f(t)lg ，即f(x)lg (x1).11(2022宁夏银川摸底)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)3f1，则f(x) 答案(x0)解析在f(x)3f1中，将x换成，则换成x，得f3f(x)1，将该方程代入已知方程消去f，得f(x)(x0).考向四分段函数例6(1)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A.(，2 B(，0(1，2C0，2 D(，01，2答案D解析当x1时，不等式f(x)1为log2x1，1x2.当x2，所以f()642，所以f(f()f(2)1a3，解得a2.分段函数问题的求解策略(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值
8、属于哪个区间，再代入相应的解析式求解当自变量的值不确定时，要分类讨论(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验解得的自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围12.(2022江西九江检测)已知函数f(x)的图象经过点(3，0)，则f(f(2)()A2022 B C2 D1答案B解析因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3m)10，解得m0.所以f(2)log3(2m)1log3210.故f(f(2).13已知函数f(x)g(x)x1，则g(f(x) ，f(g(x) 答案解析g(f(x)f(x)1f(g(x)f(
9、g(x)f(g(x)自主培优(二) 与函数有关的新定义问题若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”给出下列三个函数：f(x)；f(x)2x；f(x)lg (x22).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()A B C D答案B解析对于，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则1，所以xx010(x00，且x01)，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则2x012x02，解得x01，因此是“1的饱和函数”；对于，若存在实数x0，满足f
10、(x01)f(x0)f(1)，则lg (x01)22lg (x2)lg (122)，化简得2x2x030，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”解决与函数有关的新定义问题的策略(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解.(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或
11、函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的(2021山东滨州模拟)具有性质ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：yx；yx；y中，满足“倒负”变换的是()A BC D只有答案C解析(逐项验证法)对于，fxf(x)，满足“倒负”变换；对于，fxf(x)，不满足“倒负”变换；对于，f满足ff(x)，满足“倒负”变换，故选C.1函数y的定义域是()A(1，3) B(1，3C(1，0)(0，3) D(1，0)(0，3答案D解析由题可知即解得10时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中，当xx0
12、时，y的值有两个，因此不是函数图象；中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.3下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)eln x，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)答案D解析对于A，f(x)eln xx(x0)，f(x)和g(x)定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)的定义域为x|x2，f(x)和g(x)不是同一函数；对于C，f(x)的定义域为x|xk，kZ，f(x)和g(x)不是同一函数；对于D，g(x)|x|，f(x)和g(x)是同一函数，故选D.4(2021合肥质检)已知函数f(x)满足f(2x)2f(x)
13、，且当1x2时，f(x)x2，则f(3)()A B C D9答案C解析f(2x)2f(x)，f(3)2f，又1x0.当0a1时，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8.当a1时，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故选D.10已知函数f(x)2log3x，x1，9，则函数yf(x)2f(x2)的值域为()A6，10 B2，13C6，13 D6，22答案C解析f(x)2log3x，x1，9，yf(x)2f(x2)4(log3x)24log3x2log3x2，且y(log3x)26log3x6(1x3)，即y(log3x3)23(1x3)，当x1时，ymin6；当x3时，y
14、max13，值域为6，13.11(2022贵阳模拟)若函数f(x)的值域为(a，)，则实数a的取值范围为()A BC D答案B解析当x0对任意xR恒成立，显然a0时不符合题意，从而必有即解得a，即A，f(x)的值域为R，设tax22x3，则t能取到(0，)上所有的数，显然a0时符合题意，当a0时必有即解得0g(f(x)的x的值为 答案12解析g(1)3，f(g(1)f(3)1.当x1时，f(g(1)1，g(f(1)g(2)2，不满足f(g(x)g(f(x)；当x2时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)1，满足f(g(x)g(f(x)；当x3时，f(g(3)f(1)2，g(f(3)g(
15、1)3，不满足f(g(x)g(f(x)，当x2时，f(g(x)g(f(x)成立15(2022黑龙江大庆模拟)设函数f(x)若f(m)f(m)，则实数m的取值范围是 答案(，1)(0，1)解析作出f(x)的图象，如图所示，由图象可知，当m1或0mf(m)，故实数m的取值范围为(，1)(0，1).16若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数yx2，x1，2与函数yx2，x2，1为“同族函数”下面函数解析式中，能够被用来构造“同族函数”的是 (填序号).y；y|x|；y；yx21.答案解析对于，由于它们的图象都关于y轴对称，故当x1，2与x2，1时，上述函数各自对应的值域相同，即它们能够被用来构造“同族函数”显然不能被用来构造“同族函数”17已知f(x)若f(x)f1，求x的取值范围解当即x时，f(x)f1可化为2x3231，即x，所以x；当即01可化为2x3x11，即x，又0x，所以01可化为x1x11，即x，又x0，所以2，求a的取值范围解(1)若a1，则f(x1)(x1)|x|，f(1)f(01)0，f(2)f(11)2.(2)令xat，则xta，f(t)t|ta|，f(x)x|xa|(xR).(3)f(1)2，|1a|2，a12或a13或a1.a的取值范围为(，1)(3，).