1、第 1 页 2020 学年奉贤区学科教学质量调研 高三数学 （2021.4）一、填空题 1.经过点（2,4）的抛物线2yax=焦点坐标是_ 2.把一个表面积为16 平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是_厘米 3.已知11izi=+（i 是虚数单位）是方程()210 xaxaR+=的一个根，则 za=_ 4.已知各项为正的等差数列 na的前 n 项和为nS，若25760aaa+=，则11S=_ 5.已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为_万元 家庭年收入（以万元为单位）)4,5 )5,6 )6,7 )7,8
2、 )8,9 )9,10 频率 f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 6.某参考辅导书上有这样的一个题：ABC 中，tanA 与 tanB 是方程2310 xx=的两个根，则 tanC 的值为（）A.32 B.32 C.12 D.12 你对这个题目的评价是_（用简短语句回答）7.用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是 0），从所有码中任选一码，则事件码中至少有两个 1的概率是_ 8.设nS 为正数列 na的前 n 项和，11,1nnSqSS q+=+，对任意的1,nnN均有14nnSa+，则 q 的取值为_ 9.函数331xxay=+在()0,+内单
3、调递增，则实数a 的取值范围是_ 10.假如1nxx的二项展开式中3x 项的系数是 84，则1nxx二项展开式中系数最小的项是_ 第 2 页 11.函数()2cos,f xx xZn=的值域有 6 个实数组成，则非零整数 n 的值是_ 12.如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为3 的一段圆弧 AB 上的一点，若2ABBC=，则 PC PA的值域是_ 二、选择题 13.如图，PA 面 ABCD，ABCD 为矩形，连接 AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一 定为零的是（）A.PC 与 BD B.PB 与 DA C.PD与 AB D.PA 与CD 14.下列选项中，y 可表示为
4、 x 的函数是（）A.230yx=B.23xy=C.()sin arcsinsinxy=D.2ln yx=15.已知1212,x xy y 都是非零实数，()()()222221 2121122x xy yxyxy+=+成立的充要条件是（）A.212110100110 xxyy=B.1122101000yxyx=C.1122101000yxxy=D.211210100110 xxyy=第 3 页 16.设点 A 的坐标为(),a b，O 是坐标原点，向量OA绕着 O 点顺时针旋转 后得到OA，则A 的坐标为（）A.()cossin,sincosabab+B.()cossin,cossinabb
5、a+C.()sincos,cossinabab+D.()cossin,sincosbaba+三、解答题 17.已知 M、N 是正四棱柱1111ABCDA B C D的棱1111,B C C D 的中点，异面直线 MN 与1AB 所成角的大小为10arccos 10.（1）求证：M、N、B、D 在同一平面上；（2）求二面角1CMNC的大小.18.设函数()()()lg 1 cos2cos,0,2f xxx=+.（1）讨论函数()yf x=的奇偶性，并说明理由；（2）设0，解关于 x 的不等式3044fxfx+.第 4 页 19.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面 xOy 内有一
6、跟踪和控制飞行机器人 T 的控制台 A，A 的位置为（170,200,0），上午 10 时 07 分测得飞行机器人 T 在 P（150,80,120）处，并对飞行机器人 T 发出指令，以速度113v=米/秒沿单位向量13 124,13 1313d=作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10 秒后到达 Q 点，再发出指令让机器人在 Q 点原地盘旋 2 秒，在原地盘旋 2 秒过程中逐步减速并降速到 8 米/秒，然后保持 8 米/秒，再沿单位向量2121,222d=作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人 T 最终落在平面 xOy 内发出指令让它停止运动，机器人 T 近似看成一个点.（1）求从 P
7、 点开始出发 20 秒后飞行机器人 T 的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人 T 与控制台 A 的最近距离（精确到米）.第 5 页 20.曲 线2211xya=与 曲 线()221049xyaa+=在 第 一 象 限 的 交 点 为A，曲 线C是()221 11Axyxxa=和()22149Axyxxa+=组成的封闭图形，曲线 C 与 x 轴的左交点为 M，右交点为 N.（1）设曲线2211xya=与曲线()221049xyaa+=具有相同的一个焦点 F，求线段 AF 的方程；（2）在（1）的条件下，曲线 C 上存在多少个点 S，使得 NS=NF，请说明理由；（3）设过原点 O 的直线l
8、 与以()(),00D tt 为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点为 T，直线l 与曲线 C 在第一象限的两个交点为 P、Q，当22211OTOPOQ+=对任意直线l 恒成立，求 t 的值.21.设数列 na满足：111sin,cos,nnnnnnnnnaka aaaaka aa+=+，1nnaa+，设12,aa ab=.（1）设5,6bk=，若数列的前四项1234,a a a a 满足1423a aa a=，求a；（2）已知0,4,knnN，当0,0,22abab时，判断数列 na是否能成等差数列，请说明理由；（3）设4,7,1abk=，求证：对一切的1,nnN，均有672a.第 6
9、页 参考答案 一、填空题 1.10,4 2.8 3.1 4.22 5.6.51 6.错题，C 为钝角，,A B 中也有一个钝角，构不成三角形 7.1116 8.2 9.(,4 10.126x 11.10,11 12.52 13,0二、选择题 13.A 14.D 15.C 16.B 三、解答题 17.（1）证明略 （2）arctan 4 2 18.（1）当0=时，函数()yf x=是偶函数；当0,2时，函数()yf x=是非奇非偶函数 （2）3352,22,2,4444kkkkkZ+19.（1）()212,20032 2,48 （2）约 73 米 20.（1）()453yx=（2）2 个，说明略 （3）5 27 21.（1）53 （2）可以 （3）证明略