1、2016 年全国考数学压轴题的分析与解2016 年 6 10 录12016 年东卷理科数学222016 年东卷科数学7112016 年东卷理科数学2试卷点评今年的东卷去年简单了不少从选择题最后题中“象形”的 T 性质，到填空最后题中给出需讨论对称轴的次函数的限制函数甚给出 m 0 来避免讨论，这些都充分释放出了出题的善意导数题中利我们熟知的对 ln x 的放缩可以极地简化问题，解析何题中利椭圆的“垂径定理”也可以减少计算量，这些都是在考中常的“套路”，相信难不倒认真准备的学们科的解析何压轴题反倒理科的要哪些，但计算量前两年要些总的来说，东卷在全考查数学知识和能的同时表现出了难得的温柔善良，很适
2、合训练有素的同学发挥12016 年东卷理科数学题(理 10).若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3解根据题意，函数 y=f(x)(导函数为连续函数)具有 T 性质，那么必然为以下两种情形之：(1)函数 f(x)的值域包含个形如 m,n 的区间，其中 m 0 m,其中 m 0，存在实数 b，使得关于 x 的程 f(x)=b有三个不同的根，则 m 的取值范围是解注意到函数 y=x2 2mx+4m(x m)是在(m,+)上的单调递增函数，
3、因此若存在实数 b，使得关于 x 的程 f(x)=b 有三个不同的根，那么必然有(|x|)|x=m (x2 2mx+4m)x=m,解得 m 3，因此 m 的取值范围是(3,+)Oxymmm2+4m实际上，m 0 是多余的条件因为当 m 0 时，组成 f(x)的两段函数均为单调函数，因此关于 x 的程 f(x)=b 的实根最多只有 2 个，不符合题意12016 年东卷理科数学4题(理 20).已知 f(x)=a(x ln x)+2x 1x2，a R(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a=1 时，证明：f(x)f(x)+32 对于任意的 x 1,2 成分析 第(1)小题考查利用导函数研究函数的
4、单调性，对分类讨论有较要求；第(2)小题的函数不等式利用 ln x 的常见放缩即可轻松解决解(1)根据题意，f(x)的导函数f(x)=(ax2 2)(x 1)x3,易得讨论的分界点为 0,2 情形a 0 此时函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减情形0 a 2 此时函数 f(x)在0,2a上单调递增，在2a,1上单调递减，在(1,+)上单调递增(2)题中不等式即x ln x+2x 1x2(x2 2)(x 1)x3 32 0,我们熟知在区间 1,2 上有ln x x 1,于是x ln x+2x 1x2(x2 2)(x 1)x3 32 2x 1x2(x2 2)(x 1)x3
5、12=(3x2 2)(2 x)2x3,等号当且仅当 x=1 时取得在区间 1,2 上，显然有(3x2 2)(2 x)2x3 0,等号当且仅当 x=2 时取得因此等号法同时取得，题中不等式得证12016 年东卷理科数学5题(理 21).平直坐标系 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离率是32，抛物线 E:x2=2y的焦点 F 是 C 的个顶点(1)求椭圆 C 的程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A,B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M(i)求证：点 M 在
6、定直线上；(ii)直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的积为 S1，PDM 的积为 S1，求 S1S2的最值及取得最值时点 P 的坐标分析 第(1)小题考查椭圆与抛物线的基本量和程；第(2)小题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及面积问题，其中切线问题可以用考数学压轴题的分析与解破解压轴题的有效 10 招中的第 10 招“圆锥曲线的切线程”解决，涉及的弦中点问题，则可以用可以用考数学压轴题的分析与解破解压轴题的有效10 招中的第 7 招“有次曲线的垂径定理”轻松化解解(1)根据题意，有 F 点的坐标为0,12，于是 b=12 又根据离率为32可得a2=4b2=1,于是椭圆 C 的程为 x2
7、+4y2=1(2)画出意图如下OABDGMPFxy(i)设 P(2t,2t2)，则切线 l 的程为 y=2tx 2t2 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)，将两点满的椭圆程相减整理得（即椭圆的“垂径定理”）直线 OM 的斜率与直线 AB 的斜率满kAB kOM=b2a2,从可得 kOM=18t，于是不难计算得 M 的坐标为2t,14，因此点 M 在定直线 y=14 上(ii)由 DPM 与 DGO 相似可得S2=|PM|PM|+|OG|12|PM|d(O,PM),12016 年东卷理科数学6因此S1S2=2t2+12 2t2t 2t2+142t2+144t2+14=(8t2+2)(16t
8、2+1)(8t2+1)2(8t2+2)+(16t2+1)221(8t2+1)2=94,等号当 8t2+2=16t2+1，即 t=122 时取得因此所求的最值为 94，此时点 P 的坐标为22,1422016 年东卷科数学722016 年东卷科数学题(10).若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3解与理科第 10 题相同题(15).已知函数 f(x)=|x|,x m,x2 2mx+4m,x m,其中 m 0，存在实数 b，使得关于 x
9、的程 f(x)=b有三个不同的根，则 m 的取值范围是解与理科第 15 题相同22016 年东卷科数学8题(20).设 f(x)=x ln x ax2+(2a 1)x，a R(1)令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极值，求实数 a 的取值范围分析 第(1)小题考查利用导函数研究函数的单调性；第(2)小题可以通过端点分析得到分界点 12，难点在于 a 12 时的论证，但有第(1)小题的铺垫，亦是不难解决解(1)根据题意，函数 f(x)的导函数g(x)=f(x)=ln x 2a(x 1),x 0,函数 g(x)的导函数g(x)=1 2axx,x
10、0.情形a 0 此时在(0,+)上，g(x)0，于是 g(x)的单调递增区间是(0,+)情形a 0 此时函数 g(x)的单调递增区间是0,12a，单调递减区间是 12a,+(2)考虑到 f(1)=0，于是当 f(x)在 x=1 处取得极值时，必然在 x=1 的左邻域内单调递增，在x=1 的右邻域内单调递减注意到 f(1)=g(1)=1 2a，因此得到分界点 12 情形a 12 此时函数 f(x)在 12a,+上单调递减，f(1)=0，于是在区间 12a,1上有 f(x)0，在区间(1,+)上有 f(x)0，因此函数 f(x)在 x=1 处取得极值，符合题意情形a 12(i)若 a 0，则函数
11、f(x)在(0,+)上单调递增，f(1)=0，因此在区间(0,1)上有 f(x)0，因此函数 f(x)在 x=1 处不能取得极值，不符合题意(ii)若 0 a 12，则函数 f(x)在0,12a上单调递增，f(1)=0，此在区间0,12a上有f(x)b 0)的长轴长为 4，焦距为 22(1)求椭圆 C 的程；(2)过动点 M(0,m)(m 0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P 在第象限，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另点 Q，延长 QM 交 C 于点 B(i)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k，证明：kk为定值；(ii)求直线 AB 的斜率
12、的最值分析 第(1)小题是简单的椭圆的基本量与程问题；第(2)小题利用(i)指出了两条相交于 M 的直线的相关关系，借助这相关关系可以便的计算直线 AB 的斜率，其中理顺直线的截距 m 与斜率 k 之间的关系是解决问题的另关键解(1)根据题意，有 a2=4，c2=2，因此 b2=2，于是椭圆 C 的程为 x24+y22=1(2)如图OABPQMNxy(i)根据题意，设 P(p,2m)(0 2m 2)，则 Q(p,2m)，于是直线 PM,QM 的斜率之为kk=2m m2m m=3.(ii)由于直线 PA 的斜率k=mp=m4 8m2=14m2 8,其中 0 m2 12 因此 k 的取值范围是(0
13、,+)将直线 y=Kx+m 与椭圆的程联，整理得(2K2+1)x2+4Kmx+2m2 4=0,设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 PA:y=kx+m，直线 QB:y=3kx+m，分别令 K=k 和 K=3k即可得x1p=2m2 42k2+1,x2p=2m2 418k2+1,22016 年东卷科数学10进直线 AB 的斜率kAB=y1 y2x1 x2=(kx1+m)(3kx2+m)x1 x2=k x1p+3k x2px1p x2p=k 2m2 42k2+1+3k 2m2 418k2+12m2 42k2+1 2m2 418k2+1=146k+1k62,等号当且仅当 k=66时取得因此直线 AB 的斜率的最值为66