1、余江一中2014-2015学年度上学期期中考试 高二数学理科卷 命题：易志明一、选择题（共10题，每题5分）1命题“”的否定是 （）A BC D2“”是“”成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C非充分非必要条件 D充要条件3设p：，q:，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）A. B C. D4下列命题中假命题是( )A垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行5已知向量，且
2、与互相垂直，则的值是（ ） A1 B C D6如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()7抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）A. B. C. D.8已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )ABCD9如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) （A） （B） （C） （D）10如图，从
3、点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于( ) A B C D二、填空题（共5题，每题5分）11双曲线的离心率为 .12已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为_13如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_14椭圆的焦点分别为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么 。15曲线C是平面内与两个定点F
4、1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2其中，所有正确结论的序号是_三、解答题（共75分）16已知命题：“，使等式成立”是真命题（1）求实数的取值集合； （5分）（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围（7分）17已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如图) .(1) 当x=2时，求证：BDE
5、G ；（5分）(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；（7分）18已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（7分）（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围。（5分）19如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.（12分）（1）求证：；（4分）（2）求点的距离；（4分）（3）求二面角的平面角的余弦值.(4分)20已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（4分）（2）当直线，的
6、倾斜角之和为时，证明直线过定点.（9分）21已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；(4分)（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；(6分)（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.(4分)余江一中2014-2015学年度上学期期中考试高二数学理科卷参考答案一、BAAAD ADCDB二、11. 12， 13 14 15三、16(1) 由题意知，方程在上有解，即的取值范围就为函数在上的值域，易得 5分(2) 因为是的必要条件，所以 6分当时，解
7、集为空集，不满足题意 7分当时，此时集合则，解得 当时，此时集合 10分 则 综上 12 分17（1）作DHEF于H，连BH，GH， 1分由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH。又四边形BGHE为正方形，EGBH，HBHDHH，故EG平面DBH， 4分而BD平面DBH， EGBD。 5分（2）AD面BFC，所以 VA-BFC4(4-x)x 10分即时有最大值为. 12分18解：（1）若为真： 1分解得或 2分若为真：则 3分解得或 4分若“且”是真命题，则 6分解得或 7分（2）若为真，则，即 8分由是的必要不充分条件，则可得或 9分即或 11分 解得或 12分19（1
8、）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC. 4分（2）由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) , 有由，满足，所以E(1，2，0), F(0，1，1) 所以,所以
9、点的距离. 8分（3）设平面 的法向量为，易知平面 的法向量可以为.由，令，可得平面 的一个法向量可为，设与的夹角为.则，易知二面角的平面角为钝角，故应为角的补角，所以其余弦值为. 12分20（1）设抛物线方程为由抛物线的定义知，又 2分所以，所以抛物线的方程为 4分（2）设，联立，整理得（依题意）， 6分设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则 8分其中，代入上式整理得所以即 10分直线的方程为，整理得所以直线过定点 12分.21(1)设动点，则(且)所以曲线的方程为(). 4分（2）设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，所以直线的方程为，令，则得，直线的方程为，令，则得， 8分故直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分（3）由（2）得， ， 12分 点在曲线上. 14分