1、岳阳市一中2018届高三5月第一次模拟数学试题（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）A B C D2已知集合，则（ ）A B C D3将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，则第2018层正方体的个数共有（ ）A2018 B4028 C2037171 D20090104已知，那么（ ）A B C D5元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日
2、而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，则输出的（ ）A 3 B4 C5 D66已知函数，若，则等于（ ）A-3 B-1 C3 D07设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）A2 B C D38已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是（ ）A B C D9岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种。A24 B36 C42 D6010设点在的外部，且，则（ ）A B C D11已知双
3、曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C D12如图所示，在长方体中，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13展开式中的常数项为 （用数字填写答案）14某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是 15某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下：乙和三人中的第3小组那位不一样，
4、丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比甲分数高.将甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列为 16在中，角所对应的边分别为，若，则当角取得最大值时，三角形的内切圆的半径为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知数列的首项，其前项和为，且对任意正整数，有成等差数列.（1）求证：数列成等比数列；（2）设，求数列前项和.18 如图，四棱锥的底面是平行四边形，.（1）求异面直线与所成的角；（2）若，求二面角的余弦值.19 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
5、的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：）12345包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101300之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费
6、用.目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？20 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在的直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，试问：是否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由.21 已知函数，.（1）若直线与曲线和分别交于两点直线，且曲线在处的切线与在处的切线相互平行，求正数的最大值；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所
7、做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.23选修4-5：不等式选讲设函数，.（1）证明：；（2）若不等式的解集是非空集，求的范围.岳阳市一中2018届高三5月第一次模拟数学试题（理科）参考答案一、选择题1-5:ACCAB 6-10:DACDB 11、12：CC二、填空题130 143 15乙、丙、甲 16三、解答题17解：（1）成等差数列，又即又成等比
8、数列.（2）由（1）知是以为首项，2为公比的等比数列.又18解：（1）取中点，连接，可证面，所以异面直线与所成的角为90（2）设，则，又，可得.由（1）知，从而平面，以为坐标原点，的方向分别为轴建立坐标系.则，所以，可求得平面的法向量，平面的法向量，所以又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.19解：（1）样本中包裹件数在101300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的
9、费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.根据题意及（2），揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.20解：（1）由题知，椭圆的方程为设，将直线代入椭圆方程，得：，（*），即将（*）式代入得，又，得（2）设，由题知，又，点在椭圆上，即（*）点在椭圆上，又直线斜率之积为，即代入（*）得，解得故为定值，定值为.21解：（1）依题意，函
10、数的定义域为，因为曲线在处的切线与在处的切线相互平行，所以在有解，即方程在有解.方程在有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为，只须.令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以，的最大值为（2）由题意，则，当时，在上为增函数，不符合题意.当时，令，则.令的两根分别为且，则，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；，在上只有一个零点1，且，.，又当时，在上必有一个零点.，又当时，.在上必有一个零点.综上所述，故的取值范围为.22解：（1）直线的参数方程为（为参数）.曲线的极坐标方程可化为.把，代入曲线的极坐标方程可得，即.（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：曲线与直线相交于不同的两点，又，.又，.，.的取值范围是.23解：（1）函数，则（2），当时，则，当时，则，当时，则，于是的值域为由不等式的解集是非空集，即，解得，由于，则的取值范围是.