1、5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值课后训练巩固提升A组1.设函数f(x)=+ln x,则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点解析:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-.令f(x)=0,解得x=2.当0x2时,f(x)2时,f(x)0,函数f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.答案:D2.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为()A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3解析:f(x)=3ax2+b.由题意知f(1)=0,f(1)=-2,
2、即解得a=1,b=-3.经检验,符合题意.答案:A3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是()A.(2,3)B.(3,+)C.(2,+)D.(-,3)解析:f(x)=6x2+2ax+36.由题意知f(2)=0,解得a=-15,经检验,符合题意.令f(x)=6x2-30x+360,解得x3或x2.所以函数f(x)的一个单调递增区间是(3,+).答案:B4.若函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)上有极小值,则()A.0b1B.b0D.b解析:f(x)=3x2-3b,若f(x)在区间(0,1)上有极小值,则解得0b0),则f(x)(
3、)A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点解析:f(x)=.当0x3时,f(x)0,f(1)=,f(e)=-10,故函数f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.故选D.答案:D6.函数f(x)=2x3-15x2+36x-24的极小值为.解析:f(x)=6x2-30x+36=6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3).令f(x)=0,解得x=2或x=3.当x0,函数f(x)单调递增;当2x3时,f(x)3时,f(x)0,函数f(x)单调递增.所以当x=3时,函数f(x)有极
4、小值,极小值为f(3)=233-1532+363-24=3.答案:37.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.则下列说法不正确的是.(填序号)当x=时,函数f(x)取得极小值;f(x)有两个极值点;当x=2时,函数取得极小值;当x=1时,函数取得极大值.解析:由图象可知,x=1,2是函数的两个极值点,故正确;由于当x(-,1)(2,+)时,f(x)0,则f(x)单调递增;当x(1,2)时,f(x)0,则f(x)单调递减,故x=1是极大值点,x=2是极小值点,故正确.答案:8.若函数f(x)=ax2+bx在x=处有极值,则b的值
5、为.解析:f(x)=2ax+b,函数f(x)在x=处有极值,f=2a+b=0,解得b=-2.经检验,符合题意.答案:-29.已知函数f(x)=ex-2x+2a,aR,求f(x)的单调区间与极值.解:f(x)=ex-2x+2a,则f(x)的定义域为R,f(x)=ex-2.令f(x)=0,解得x=ln 2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)单调递减2(1-ln 2+a)单调递增故函数f(x)的单调递减区间是(-,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+),且函数f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=
6、2(1-ln 2+a),无极大值.10.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4,即b=4,a+b-4=4.解得a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f(x)=0,解得x=-ln 2或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,-ln 2)-l
7、n 2(-ln 2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).11.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断在x=1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.解:(1)f(x)=3ax2+2bx+c.由已知得f(-1)=f(1)=0,即3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.因为f(1)=-1,所以a+b+c=-1.联立,解得a=,b=0,c=-.经检验,符合题意.(2)由(1)知f(x)=x3-x,则f(x)=x2
8、-(x-1)(x+1).令f(x)=0,得x=-1或x=1.当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0,因此,函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在区间(-1,1)内单调递减.故当x=-1时,函数f(x)取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=-1.12.已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0),若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解:因为f(x)=3x2-3a,且f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,解得a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f
9、(x)=3x2-3.令f(x)=0,解得x=-1或x=1.当x0;当-1x1时,f(x)1时,f(x)0.由f(x)的单调性可知,函数f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出f(x)的大致图象如图所示.已知直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).B组1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是()解析:由题意可得f(-2)=0,而且当x(-,-2)时,f(x)0.故排除B,D.当x(-2,+)时,f(x)0,所
10、以当x(-2,0)时,xf(x)0.故选C.答案:C2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-3,6)C.(-,-3)(6,+)D.(-,-1)(2,+)解析:f(x)=3x2+2ax+a+6.函数f(x)有极大值与极小值,f(x)=0有两个不等实根.=4a2-12(a+6)0,解得a6.答案:C3.若函数y=ex+ax,aR有大于零的极值点,则()A.a-1C.a-解析:y=ex+ax,y=ex+a.由题意知y=ex+a=0有大于0的实根.a=-ex,其中x0.a-1.答案:A4.已知函数f(x)=ex(sin x-co
11、s x),x(0,2 021),则函数f(x)的极大值之和为()A.B.C.D.解析:f(x)=2exsin x.令f(x)=0,即sin x=0,得x=k(kZ).当2kx0,函数f(x)单调递增;当2k+x2k+2时,f(x)0,函数f(x)单调递减.当x=(2k+1)时,f(x)取得极大值.x(0,2 021),0(2k+1)2 021.0k0,因此函数y=f(x)在区间(2,4)内单调递增,故A不正确,B正确;由题图知,当x=-3时,函数f(x)取得极小值,但是函数y=f(x)没有取得极小值,故C错误;当x=4时,f(x)=0;当2x0,f(x)单调递增;当x4时,f(x)0,f(x)
12、单调递减.因此,x=4是函数y=f(x)的极大值点.故D正确.综上,选BD.答案:BD6.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=.解析:f(x)=.由题意知f(1)=0,即1+2-a=0,解得a=3.经验证,当a=3时,f(x)在x=1处取得极值.答案:37.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.解析:f(x)=3x2+2x-a.函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个极值点,即f(x)=0在区间(-1,1)内恰有一个根.又f(x)=3x2+2x-a的图象的对称轴为x=-,所以解得1a5.故实数a的取值范围为1,5).答案:1,5)8
13、.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=1.根据函数f(x)的单调性,可得函数f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.作出函数f(x)的大致图象如图所示,观察知,当-2a0,函数f(x)为R上的单调递增函数,故函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,即ex=a,得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0,函数f(x)单调递增.故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=ln a处取得
14、极小值ln a,无极大值.11.函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x+y-11=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)的图象与y=f(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=3ax2-12ax+3b.由题意得f(2)=-3,且f(2)=5,即解得a=1,b=3.所以f(x)=x3-6x2+9x+3.(2)由(1)知f(x)=x3-6x2+9x+3,f(x)=3x2-12x+9,从而y=f(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m.由题意得方程x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即函数g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.g(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),令g(x)=0,解得x=或x=4.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x4(4,+)g(x)+0-0+g(x)单调递增-m单调递减-16-m单调递增故函数g(x)的极大值为g-m,极小值为g(4)=-16-m.由y=f(x)的图象与y=f(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,即函数g(x)的图象与x轴有三个不同的交点,得解得-16m.故实数m的取值范围为.