1、第1讲导数的概念及运算1导数的概念(1)yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率，记作：y|xx0或f(x0)，即f(x0) .(2)当把上式中的x0看作变量x时，f(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即yf(x)lim2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为yy0f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式(1)c0(c为常数)；(2)(xn)nxn1(nQ*)；(3)(sin x)cos x；(4)(cos x)sin x；(
2、5)(ax)ax ln a；(6)(ex)ex；(7)(logax)；(8)(ln x)4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)特别地：cf(x)cf(x)(c为常数).(3)(g(x)0)5复合函数的导数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1f(x0)与x0的值有关，不同的x
3、0，其导数值一般也不同.2f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.5两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二
4、次曲线相切只有一个公共点1(2021江苏沭阳高级中学模拟)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500 m处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500 m/s降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则()Av m/s，a m/s2Bv m/s，a m/s2Cv m/s，a m/s2Dv m/s，a m/s2答案B解析探测器与月球表面距离逐渐减小，故v m/s，探测器的速度逐渐减小，故a m/s2，故选B.2曲线y2sin xcos x在点(，1)处的
5、切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10答案C解析设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.3(2022河南信阳模拟)若曲线yexaxb在点(0，2)处的切线l与直线x3y10垂直，则ab()A3 B1 C1 D3答案A解析因为直线x3y10的斜率为，所以切线l的斜率为3，即y|x0e0a1a3，所以a2；又曲线过点(0，2)，所以e0b2，解得b1.所以ab3.故选A.4(2021安徽安庆模拟)已知函数f(x)x ln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线
6、yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案B解析设直线l的方程为ykx1，直线l与f(x)的图象相切于点(x0，y0)，则解得直线l的方程为yx1，即xy10.5(2020全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a 答案1解析f(x)，则f(1)，整理可得a22a10，解得a1.6在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me
7、，n1.故点A的坐标为(e，1).考向一导数的概念例1利用导数定义求函数f(x)在x1处的导数.解y1， ，函数y在x1处的导数为.导数定义探究(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率在x0时极限是否存在(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量y，再算比值，再求极限y .(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是x，也可以是2x，x等，做题时要将分子分母中增量统一为一种(4)导数定义 f(x0)，也即 f(x0)(xxx0).1.设f(x)x38x，则(1) ；(2) 答案(1)4(2)4解析f(x)x38x，f(x)3x28，(1) f(2)4.(2) f(2
8、)4.考向二导数的基本运算例2求下列函数的导数：(1)y；(2)yx；(3)ysin3xsin3x；(4)y.解(1)y.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)y(sin3x)(sin3x)3sin2x cosx3cos 3x.(4)y(2x1)33(2x1)426(2x1)4.导数的运算方法(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由
9、外向内逐层求导2.求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y；(4)y.解(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2x sin xx2cos x(3)y(12x) (12x) (2)(12x) (4)y.精准设计考向，多角度探究突破考向三导数的几何意义角度求切线的方程例3(1)(2021安徽太和一中二模)函数f(x)x2ln x2的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay3x4 By2x3Cy2x1 Dy3x2答案A解析函数f(x)x2ln x2
10、的导数为f(x)2x，可得f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为213，由切点为(1，1)，可得在点(1，f(1)处的切线方程为y(1)3(x1)，即y3x4.故选A.(2)若直线l与曲线yex及yx2都相切，则直线l的方程为 答案yx1解析设直线l与曲线yex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线yx2的切点为，因为yex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为y|xx0ex0，y在点处的切线的斜率为y|xx1，则直线l的方程可表示为yex0xx0ex0ex0或yx1xx，所以所以ex01x0，解得x00，所以直线l的方程为yx1.求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，
11、注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步，写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程.角度求切点的坐标例4(1)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为()A(1，1) B(1
12、，1)C(1，1) D(1，1)答案A解析对yex求导得yex，令x0，得曲线yex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y(x0)上点P处的切线斜率为1，由y1，得x1，则y1，所以点P的坐标为(1，1).故选A.(2)(2022贵州铜仁一中摸底)已知曲线yln x在点A处的切线与直线xy10平行，则点A的坐标为()A(e，1) B(1，0)C D(e2，2)答案B解析设点A的坐标为(x0，ln x0)，曲线yln x在点A处的切线的斜率为k.yln x，y，ky|xx0.又切线与直线xy10平行，1，解得x01，ln x00.故点A的坐标为(1，0).故选B.求切点坐标的方法已知切线方程(
13、或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标角度导数与函数图象例5(1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()答案B解析f(x)0，函数yf(x)是增函数，又f(x)在(1，0)是增函数，在(0，1)是减函数，f(x)的图象在(1，0)越来越陡峭，在(0，1)越来越平缓，故选B.(2)(2021黑龙江大庆铁人中学期末)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(
14、3) 答案0解析由题可知则k，即f(3)，又g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，则g(3)f(3)3f(3)0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0).(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况3如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知两函数的图象在x0处切线斜率相等，故选D.4(2021全国甲卷)
15、曲线y在点(1，3)处的切线方程为 .答案5xy20解析因为y，所以曲线y在点(1，3)处的切线的斜率k5，故所求切线方程为y35(x1)，即5xy20.5若曲线f(x)x3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则P点坐标为 答案(1，0)或(1，4)解析设P点坐标为(x0，y0)，f(x)x3x2，f(x0)3x1，3x14，x01，故P点坐标为(1，0)或(1，4).考向四求参数的值或取值范围例6(1)已知曲线yaexx ln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为y
16、ae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.(2)(2022商丘模拟)设曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是()A1，2 B(3，)C D答案D解析由f(x)exx，得f(x)ex1，ex11，(0，1).由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x，又2sin x2，2，3a2sin x23a，23a.要使曲线f(x)exx上任意一点处的切线l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，
17、则解得a.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.6.(2021河南洛阳二模)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有解得m2.故选D.7已知a为常数，若曲线yax23xln x上存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取
18、值范围是 答案解析由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0，a1，f(1).故选D.8(2022四川成都摸底)已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()A B C D答案D解析yx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0.故选D.9已知函数f(x)在x1处的导数为，则f(x)的解析式可能为()Af(x)x2ln xBf(x)xexCf(x)sin Df(x)答案D解析A中f(x)x，B中f(x)(xex)exxex，C中f(x)2cos ，D中
19、f(x).分别将x1代入检验，知D符合10(2021江西九江联考)若P为曲线yln x上一动点，Q为直线yx1上一动点，则|PQ|min()A0 B C D2答案C解析如图所示，直线l与曲线yln x相切且与直线yx1平行时，切点P到直线yx1的距离|PQ|即为所求最小值(ln x)，令1，得x1.故P(1，0).故|PQ|min.故选C.11已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln x3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积为()A1 B C D答案C解析设x0，于是f(x)ln (x)3(x)ln (x)3x.因为f(x)为偶函数，所以当x0，a，aa2，当
20、且仅当a1时等号成立16(2021甘肃定西市第一中学高三模拟)已知曲线C1：yxex(x0)和C2：y，若直线l与C1，C2都相切，且与C2相切于点P，则P的横坐标为 答案解析设P(x0，y0)，另设l与C1相切于点M(x1，y1)，则y0，y1x1ex1.由yxex得y(x1)ex，由y得y.因为l是C1和C2的公切线，所以(x11)ex1，即(2x01)e2x0(x11)ex1.又y(x1)ex在(0，)上单调递增，所以2x0x1.又因为(x11)ex1，即(x11)ex1，所以(x11)ex1，即x11，解得x1或(舍去).所以x02x1.17已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x
21、b(a，bR).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2).(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a1(2a1)20，所以a，所以a的取值范围为.18(2021河南南阳模拟)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数).(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，求直线l的方程解(1)f(x)1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，f(1)10，解得ae.(2)当a1时，f(x)x1，f(x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，则式无解，x01，k1e.直线l的方程为y(1e)x1.