1、习题课函数的单调性的应用课后训练巩固提升A组1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y=3x2+2x+m0时,对所有xR成立,此时应满足=4-43m0,解得m.因为30,所以抛物线y=3x2+2x+m开口向上,所以y0不可能恒成立.因此满足条件的m的取值范围是.答案:C2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:f(x)=x2+a,当a0时,f(x)0在R上恒成立
2、,所以当a0时,函数f(x)在R上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则f(x)=x2+a0在R上恒成立,即a-x2恒成立,从而a0.故“a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案:A3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)解析:因为f(x)=kx-ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=k-.因为函数f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以当x1时,f(x)=k-0恒成立,即k在区间(1,+)上恒成立.因为x1,所以01,所以k1.故选D.答案:D4.已知函数
3、f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2-x),且当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则()A.abcB.cbaC.cabD.bca解析:由题意得,当x0,所以f(x)在区间(-,1)上单调递增.由题意得f(3)=f(-1),且-101,因此f(-1)f(0)f,即f(3)f(0)f,所以cab.答案:C5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(-,-1)和(2,+),则b=,c=.解析:f(x)=3x2+2bx+c,由题意知x2是不等式3x2+2bx+c0的解集,即-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则-1+2=-,-
4、12=,解得b=-,c=-6.答案:-66.若函数f(x)=x+ln x在区间1,2上单调递增,则实数k的取值范围是.解析:函数f(x)=x+ln x在区间1,2上单调递增,f(x)=0在区间1,2上恒成立,k-x2-x+3对x1,2恒成立.g(x)=-x2-x+3的对称轴为直线x=-2,g(x)=-x2-x+3在区间1,2上单调递减.g(x)max=-1+3=.k.答案:7.若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,则实数k的取值范围是.解析:f(x)=3x2-k,当k0时,对xR,不等式f(x)0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k0.令f(x)=0,得x=.
5、因为函数在(-3,-1)上不单调,所以-3-1,即3k0,则f(x)0对xR恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;若a=0,则f(x)=x,此时,f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;若a0,则f(x)=3a,f(x)有三个单调区间.故a0.答案:(-,0)9.已知函数f(x)=x2+(x0,常数aR),若函数f(x)在区间2,+)上单调递增,求a的取值范围.解:f(x)=2x-.若函数f(x)在区间2,+)上单调递增,则f(x)0当x2,+)时恒成立,即2x3-a0当x2,+)时恒成立,a2x3当x2,+)时恒成立,即a(2x3)min,其中x2,+).y=2x3在区间2,
6、+)上单调递增,(2x3)min=16.a16.当a=16时,只有f(2)=0.a的取值范围是(-,16.10.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(-1,1)内单调递减?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f(x)=3x2-a.函数f(x)在(-,+)上单调递增,f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.3x20,a0.实数a的取值范围是(-,0.(2)存在.证明如下:若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则对x(-1,1),不等式f(x)=
7、3x2-a0恒成立,即a3x2对x(-1,1)恒成立.当x(-1,1)时,3x23,a3.存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,实数a的取值范围是3,+).B组1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a1B.a=1C.a1D.0a1解析:f(x)=3x2-2ax-1,函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,不等式f(x)=3x2-2ax-10对x(0,1)恒成立.f(0)0,且f(1)0,解得a1.故选A.答案:A2.设函数f(x)的导函数为f(x),且当x时,f(x)cos x+f(x)sin x2fB.fC.f(ln
8、 2)0D.f解析:设g(x)=,则g(x)=0,g(x)在区间上单调递减.g(ln 2)g(ln 1)=g(0)=0.0,即02f.f.f2f.f0,f,即f.故选A.答案:A3.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x),则不等式f(x)的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x1解析:设g(x)=f(x)-,则g(x)=f(x)-0,故g(x)在R上为减函数,g(1)=f(1)-=0,g(x)=f(x)-1.故选D.答案:D4.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具
9、有M性质.给出下列函数,不具有M性质的为()A.f(x)=ln xB.f(x)=x2+1C.f(x)=sin xD.f(x)=x3解析:对于A,f(x)=ln x,令g(x)=exln x,则g(x)=ex,令h(x)=ln x+,则h(x)=,则h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)上单调递增,故h(x)h(1)=1,所以g(x)0,从而g(x)在f(x)的定义域(0,+)上单调递增,故f(x)=ln x具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,令g(x)=exf(x)=ex(x2+1),则g(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)20在R上恒成立,因此g(x)=exf
10、(x)在f(x)的定义域R上单调递增,则f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sin x,令g(x)=exsin x,则g(x)=ex(sin x+cos x)=exsin,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故f(x)=sin x不具有M性质;对于D,f(x)=x3,令g(x)=exf(x)=exx3,则g(x)=exx3+3exx2=exx2(x+3),当x-3时,g(x)0,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上先单调递减后单调递增,故f(x)=x3不具有M性质.故选CD.答案:CD5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递
11、减区间为(-1,1),则a的取值集合为;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则a的取值集合为.解析:函数f(x)的导数f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),-1和1是方程f(x)=0的两根,将x=1代入3x+2a-3=0,解得a=0,a的取值集合为0.(2)f(x)在区间(-1,1)内单调递减,f(x)0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是.解析:f(x)(xR)为奇函数,且f(-1)=0,f(1)=-f(-1)=0.当x0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.当x0时,g
12、(x)=0,g(x)在区间(0,+)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增.在区间(0,+)上,当0xg(1)=0,即0,即f(x)0;在区间(-,0)上,当x-1时,g(x)g(-1)=0,即0.综上,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).答案:(-,-1)(0,1)7.若函数f(x)=x2-aln x在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)的定义域是(0,+),故a-20,解得a2,而f(x)=x-,令x-=0,解得x=.由题意得a-2a+2,解得1a0,若f(x)在区间(0,1上是增函数,则a的取值范围是.解析:由题
13、意知f(x)=2a-3x20对x(0,1恒成立,所以ax2对x(0,1恒成立.因为x(0,1,所以x2.所以a.故a的取值范围是.答案:9.已知函数f(x)=-2x2+ln x(a0)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.解:函数f(x)的导数f(x)=-4x+.若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,则当x1,2时,f(x)=-4x+0或f(x)=-4x+0,即4x-4x-对x1,2恒成立.设h(x)=4x-,则h(x)=4+.因为h(x)=4+0对x1,2恒成立,所以函数h(x)在区间1,2上单调递增.所以h(2)或h(1),即3,解得a0或0a或a1.故a的取值范围是(-,0)1,+
14、).10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a0).(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间1,4上单调递减,求a的取值范围.解:(1)h(x)=ln x-ax2-2x,则定义域为(0,+),h(x)=-ax-2.因为h(x)在定义域(0,+)上存在单调递减区间,所以h(x)0在区间(0,+)上有解.当a0时,显然不等式有解;当a0,所以只需满足=4+4a0,得a-1.因此a的取值范围为(-1,0)(0,+).(2)因为h(x)在区间1,4上单调递减,所以当x1,4时,h(x)=-ax-20恒成立,即a恒成立.设(x)=-1.因为x1,4,所以.所以当时,(x)max=(4)=-.所以a-.又因为a0,所以a的取值范围是(0,+).