1、3.1.3空间向量的数量积运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握空间向量夹角的概念及表示方法2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)1通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养2借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养1空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或
2、；当a，b时，两向量垂直，记作ab2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)a(b)交换律abba分配律a(bc)abac(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则abab0共线同向：则ab|a|b|反向：则ab|a|b|向量数量积的性质模a a|a|a|cosa，a|a|2|a|ab|a|b|夹角为a，b的夹角，则cos 思考：(1)若ab0，则一定有ab吗？(2)若ab0，则a，b一定是锐角吗？提示(1)若ab0，则不一定
3、有ab，也可能a0或b0(2)当a，b0时，也有ab0，故当ab0时，ab不一定是锐角1下列各命题中，不正确的命题的个数为()|a|；m(a)b(m)ab(m，R)；a(bc)(bc)a；a2bb2aA0 B3C2 D1D命题正确，不正确2已知正方体ABCDABCD的棱长为a，设a，b，c，则，等于()A30 B60 C90 D120DBDC是等边三角形，1203已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_cosa，b所以a，b4在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BADBAADAA60，则|AC|_，2222222425232245cos 60243cos 60253cos
4、 601625920121597，|AC|空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab()A1 B2 C3 D4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：；(1)A由题意知，pq0，p2q21，所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1(2)解：|cos，cos 60|2EFcos 60()|cos，|cos，cos 60cos 600在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据
5、向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解.1(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_a2()(a2cos 60a2cos 60)a2(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()_()()()()()222223212利用数量积证明空间的垂直关系【例2】(1)已知a，b是异面直线，且ab，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为_(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
6、O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD(1)6由ab，得ab0，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6(2)解：连接OG(图略)，设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|因为()cab，ba，()abc所以(ba)0，0，所以，即A1OBD，A1OOG，又BDOGO，所以A1O平面GBD用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题.(2)用已知向量表示所证向量.(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题.2已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB
7、OC，求证：PMQN证明如图，设a，b，c，又P，M分别为OA，BC的中点，(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c(|ba|2|c|2)又ABOC，即|ba|c|，0，即PMQN利用数量积求夹角【例3】如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化解，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416cos，异面直线OA与BC的夹角的余弦值为利用向量数量积求夹角问题的思路
8、(1)求两个向量的夹角有两种方法：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；先求ab，再利用公式cosab求cosa，b，最后确定a，b.(2)我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.3如图，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(
9、2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解(1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0bc，cbac2b20，即CEAD(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，异面直线CE与AC所成角的余弦值为利用数量积求距离探究问题1异面直线AB，CD所成的角为60，则，的值是多少？提示，60或1202如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，试求A，D两点间的距离提示，|2()2|2|2|222CD2122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|2，即A，D两点间的距离为2【例4】如图所示，在
10、平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D间的距离思路探究：解ACD90，CD0，同理可得0AB与CD成60角，60或，120又，|2|2|2|22223211cos，当，60时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120时，|22，此时B，D间的距离为1利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离4如图所示，在空间四边形OABC中，O
11、A，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离解()()()，所以2222222|，即E，F间的距离为1空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解1已知|p|q|1，且p，q90，a3p2q，bpq
12、，则ab()A1B2C3 D4Aab(3p2q)(pq)3p2pq2q212在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A BC D0D()|cosAOC|cosAOB|O|0，cos，03若a，b，c为空间两两夹角都是60的三个单位向量，则|ab2c|_(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc61225，|ab2c|4正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长解如图所示，设a，b，c由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90因为abc，所以EF2|22a2b2c22222222222cos 6011415，所以EF