1、单元质检卷三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m12.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.33.(2018山西吕梁一模,10)函数f(x)=的图像大致为()4.(2018河南郑州三模,11)已知函数f(x)=ax+x2-xln a,对任意的x1,x20,1,不等式|f(x1)-f(x2)|a-2恒成立,则a的取值范围为()A.e2,+)B.e,+)C.2,eD.e,e25.(2018湖南长郡中学五模,9)已知定义在R上的
2、函数f(x),其导函数为f(x),若f(x)-f(x)ex+3的解集是()A.(-,1)B.(1,+)C.(0,+)D.(-,0)6.(2018辽宁丹东一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-17.(2018河南六市联考一,10)若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.48.(2018河北衡水中学仿真,10)已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x0时,f(x)=-ex
3、+1-mcos x,记a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是()A.bacB.acbC.cbaD.cab9.(2018陕西西安中学月考,12)已知函数f(x)= x3-a2x,若对于任意的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|1成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.10.(2018湖南长郡中学四模,12)设函数f(x)=min(mina,b表示a,b中的较小者),则函数f(x)的最大值为()A. ln 2B.2ln 2C.D.11.(2018山东潍坊一模,12)函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,且y=f(x)在0,+)
4、上单调递减.若x1,3时,不等式f(2mx-ln x-3)2f(3)-f(ln x+3-2mx)恒成立,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.12.(2018河北唐山一模,12)已知函数f(x)=x2-2xcos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图像关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=- x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.14.(2018山西太原三模)曲线f(x)=xln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形
5、的外接圆方程是.15.(2018辽宁抚顺一模,改编)已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p1恒成立,则实数a的取值范围是.16.已知f(x)=x+xln x,若k(x-2)2恒成立,则整数k的最大值为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2018贵州贵阳一模,21)设f(x) =xex,g(x)= x2+x.(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值;(2)若对任意x1,x2-1,+),且x1x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.18.(14分)(2018新疆乌鲁木齐二诊
6、)已知函数f(x)=ln x-ax,其中a为非零常数.(1)求a=1时f(x)的单调区间;(2)设bR,若f(x)b-a对x0恒成立,求的最小值.19.(14分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.20.(14分)函数f(x)=ex-ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值;(2)当x0时,求证:f(x)(e-2)x+2.21.(14分)(2018河北衡水中学金卷一模,21)已知函数f(x)=ln x-mx+
7、2(mR).(1)若函数f(x)恰有一个零点,求实数m的取值范围;(2)设关于x的方程f(x)=2的两个不等实根为x1,x2,求证:e(其中e为自然对数的底数).参考答案单元质检卷三导数及其应用1.B求导得y=ex+m,由于ex0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.2.A由f(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0x时,f(x)时,f(x)0,f(x)递增.则f(x)的最小值为f=+ln 20,所以f(x)无零点.3.A函数f(x)=不是偶函数,可以排除C,D,又令f(x)=0,得极值点为x1=1-,x2=1+,所以排除B,选A.4.A函数f(x)=ax+x
8、2-xln a,x0,1,则f(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,当0a2时,a-22时,x0,1时,ax1,ln a0,2x0,此时,f(x)0;f(x)在0,1上递增,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=a-ln aa-2,解得ae2,故选A.5.D不等式f(x)ex+3,即-1,令g(x)=-1,则g(x)=ex+3的解集是(-,0),故选D.6.Df(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8 (2-x)-8,将f(2-x)
9、代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,f(x)=x2,f(x)=2x,y=f(x)在(1,f(1)处的切线斜率为y=2.函数y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程y=2x-1.故选D.7.D设正项递增等比数列an的公比为q,则q1,1+(a2-a4)+(a3-a5)=0,1=(a4-a2)+q(a4-a2)=(1+q)(a4-a2).1+q=,a6+a7=a6(1+q)=.令g(q)=(q1),g(q)=.当1q时,g(q)时,g(q)0,故g(q)在(,+)是增加的,当q=时,g(q)的最小值为g()=4,即a6+a7的最小
10、值为4.8.Df(x)是奇函数,f(0)=-e0+1-mcos 0=0,m=0,即当x0时,f(x)=-ex+1,构造函数g(x)=xf(x),f(x)为R内的奇函数,g(x)是偶函数,则g(x)=1-ex(x+1),当x0时,ex1,x+11,据此可得g(x)0,即偶函数g(x)在区间0,+)上递减,且a=g(-2)=g(2),b=g(-1)=g(1),c=g(3),cab.故选D.9.A利用排除法,当a=0时,f(x)= x3,f(x)=x20,函数在定义域上递增,|f(x1)-f(x2)|f(1)-f(0)=1,满足题意,排除C,D选项,当a=时,f(x)=x3-x,f(x)=x2-0,
11、函数在定义域上递减,|f(x1)-f(x2)|f(0)-f(1)=11,满足题意,排除B选项,故选A.10.Dy=xln xy=ln x+1=0x=,函数y=xln x在内递减,在内递增;y=,y=0,得x=0或x=2,函数y=在(0,2)内递增,在(-,0),(2,+)内递减.作出函数y=xln x和y=的图像,由图像得函数f(x)的最大值为f(2)=.故选D.11.B由y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,定义在R上的函数f(x)的图像关于y轴对称,函数f(x)为偶函数,f(x)在0,+)上递减,f(x)在(-,0)上递增,不等式f(2mx-ln x-3)2f(3)-f(ln x+3
12、-2mx)在区间1,3上恒成立,f(2mx-ln x-3)f(3)在区间1,3上恒成立,-32mx-ln x-33在区间1,3上恒成立,即02mx-ln x6在区间1,3上恒成立,即2m且2m在区间1,3上恒成立,令g(x)=,则g(x)=,g(x)在1,e)上递增,在(e,3上递减,g(x)max=.令h(x)=,h(x)=0时,x+2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2xcos x2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2cos x有3个解,作出函数y=x,y=2cos x的图像(图像略),可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f(x)=2x-2(cos x-xsin x
13、)=2x(1+sin x)-2cos x,由f(x)=0,得x=tan.由函数y=x与y=tan的图像有无数交点,知f(x)有无数个极值点,故选D.13.(0,1)(2,3)由题意知f(x)=-x+4-=-,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t1恒成立,函数图像上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1.f(x)=-2x1在(1,2)内恒成立,即a2x2+3x+1在(1,2)内恒成立,由于函数y=2x2+3x+1在1,2上递增,故x=2时,y有最大值1
14、5,a15.16.4x2,k(x-2)f(x)可化为k0,故g(x)在(2,+)上是增加的,且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0;故存在x0(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.故F(x)在(2,x0)上是减少的,在(x0,+)上是增加的;故F(x)min=F(x0)=,故k0,解得x-1;令F(x)0,解得xx2有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,则对任意x1,x2-1,+),且x1x2有mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)0恒成立.令h(x)=mf(x)-g(x)=mxex-x2-x,x-1,+),即只需h(x)在-1,+)
15、递增即可,故h(x)=(x+1)(mex-1)0在-1,+)恒成立,故m,而e,故me.18.解 (1)当a=1时,f(x)=ln x-x,则f(x)= -1,当0x0;当x1时,f(x)ln x-ax+a,设h(x)=ln x-ax+a,则h(x)=-a,当a0,h(x)在(0,+)递增,bh(x)不可能恒成立;当a0时,h(x)00x,h(x),h(x)max=h=ln-1+a=a-ln a-1,ba-ln a-11-.设g(a)=1-(a0),g(a)=,g(a)0a1,g(a)00a1,g(x)min=g(1)=0,解得0,a=1,b=0时,取最小值0.19.解 (1)当a=2时,f(
16、x)=2ln x-x2+2x,f(x)= -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2ln x-x2+m,则g(x)=-2x=.因为x,所以当g(x)=0时,x=1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+0,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得10,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当x(x0,1)时,g(x)0,故g(x)在(0
17、,x0)内递增,在(x0,1)内递减,在(1,+)内递增,又g(0)=g(1)=0,g(x)=ex-x2-(e-2)x-10,当且仅当x=1时取等号,f(x)-(e-2)x-20,即f(x)(e-2)x+2.21.(1)解 由题意知f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=-m=.当m0,f(x)在区间(0,+)上递增,又f(1)=-m+20,f(em-2)=m-mem-2=m(1-em-2)0,f(1)f(em-2)0时,令f(x)=0,得x=,在区间上,f(x)0,函数f(x)递增;在区间上,f(x)0,则函数g(x)的两个相异零点为x1,x2,不妨设x1x20,g(x1)=0,g(x2)=0,ln x1-mx1=0,ln x2-mx2=0,两式相减得ln x1-ln x2=m(x1-x2),两式相加得ln x1+ln x2=m(x1+x2).x1x20,要证e,即证ln x1+ln x22,只需证m(x1+x2)2,只需证,即证ln,设t=1,则上式转化为ln t(t1),设h(t)=ln t-,h(t)=0,h(t)在区间(1,+)上递增,h(t)h(1)=0,ln t,即ln x1+ln x22,即e.