1、2.4.2圆的一般方程课后训练巩固提升A组1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于()A.B.2C.2D.4解析:由圆的方程x2+y2-2x+6y+8=0,得圆的半径是,则圆的周长等于2.答案:C2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析:由圆的方程x2+y2+2x-4y=0,可得圆心(-1,2).已知直线3x+y+a=0过圆心,将圆心坐标(-1,2)代入直线方程3x+y+a=0,得a=1.答案:B3.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有()A.A=C0B.D2+E2-4AF0C.A=C0,且D2+
2、E2-4AF0D.A=C0,且D2+E2-4AF0答案:C4.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1解析:设P(x0,y0),线段PQ的中点(x,y),则x=,y=.于是有x0=2x-3,y0=2y.由已知得(x0,y0)满足方程x2+y2=1,把代入得(2x-3)2+(2y)2=1.答案:C5.(多选题)已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的取值能使方程表示圆的是()A.-1B.0C.D.-2解析:方程
3、x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件是D2+E2-4F0,即3a2+4a-40,解得-2a.所以选项A,B,C能表示圆,选项D表示一个点,不能表示圆.答案:ABC6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=.解析:由题意得解得D=-4,E=8,F=4.答案:47.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为,那么圆心坐标为.解析:因为圆x2+y2+kx+2y+k2=0的面积为,所以圆的半径为1,即=1,解得k=0.所以圆的方程为x2+y2+2y=0,得圆心坐标为(0,-1).答案:(0,-1)8.设圆x2+y2-4x
4、+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则线段PA的中点M的轨迹方程是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=16,表示以(2,-1)为圆心,4为半径的圆.由题意知点M的轨迹是以(2,-1)为圆心,2为半径的圆,则点M的轨迹方程是(x-2)2+(y+1)2=4.答案:(x-2)2+(y+1)2=49.如图所示,从点A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程.解:设P(x,y),连接OP.P为弦BC的中点,O为圆心,OPBC.当x0时,kOPkAP=-1,即=-1,即x2+y2-4x=0(0x1).当x=0时,点P坐标为(0,0)满足方程,弦BC的中点P的轨
5、迹方程为x2+y2-4x=0(0x0C.D0,F0D.F0解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0.由题意知,方程x2+Dx+F=0有两个异号实根,即两根之积小于0,所以F0,=D2-4F0,符合题意.答案:D4.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上的所有点都在第二象限,则实数a的取值范围为()A.(-,2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+)解析:方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则圆心坐标为(-a,2a),半径为2.由题意知解得a2.故选D.答案:D5.已知圆C:x2+y2+2x+ay
6、-3=0(a为实数)上任一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=.解析:由题意得圆C的圆心在直线x-y+2=0上,将圆心坐标代入直线方程,得-1-+2=0,解得a=-2.答案:-26.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,最大圆的面积是.解析:所给圆的半径r=.所以当m=-1时,半径r取最大值,此时圆最大,最大圆的面积是.答案:7.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程.解:(1)(方法一)直线AB的斜率k=-1,所以线段AB
7、的垂直平分线m的斜率为1.线段AB的中点坐标为,即.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.因为圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.解方程组所以圆心坐标为C(3,2).从而半径r=|CA|=,所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(方法二)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得解得所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),则将点P(2x-8,2y)代入圆C的方程,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ的中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.8.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心坐标与半径;(2)求证:不论m为何实数,它们表示圆心在同一条直线上的等圆.(1)解 圆的方程为x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0,则圆心为(1-m,2m),半径r=3.(2)证明:由(1)知,圆的半径为定值3,设圆心坐标为(a,b),则即2a+b=2.故不论m为何实数,方程表示的圆的圆心都在直线2x+y-2=0上,且为等圆.