1、22.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.发展直观想象提升逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第26页基础认识知识点椭圆的简单几何性质知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F
2、2|2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点离心率e 自我检测1椭圆1的长轴长为()A81B9C18 D45答案：C2椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为_答案：13椭圆1的离心率为_答案：授课提示：对应学生用书第27页探究一根据椭圆的标准方程研究其几何性质阅读教材P46例4求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标题型：根据椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质方法步骤：(1)先将椭圆的方程化成标准形式(2)由标准方程写出a2，b2，从而得到a，b.(3)由a2b2c2得到c的值，从而研究椭圆的几何性质(如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等)例1求
3、椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解析由已知得1(m0)，因为0m2，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，所以椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e.方法技巧1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的，先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a、b、c，而应是a、b、c的两倍跟踪探究1.曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等 D离心率相等解析
4、：分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断曲线1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线1(k0)的离心率e，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点解析：椭圆方程可化为1(m0)因为m0，所以必有m，椭圆焦点一定在x轴上，所以a，b，c2.又e，则，故m1，从而a1，b，c.因此椭圆的长轴长2a2，短轴长2b1，焦点坐标F1，F2.探究二由几何性质求椭圆的标准方程阅读教材P46例5如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上由椭圆一
5、个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BCF1F2，|F1B|2.8 cm，|F1F2|4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)题型：由椭圆的几何性质待定系数法求椭圆的标准方程方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求椭圆的标准方程(2)根据已知条件列出关于a，b的方程(组)，求出a、b的值(3)写出椭圆的标准方程例2根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.解析(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c.b2a2c2963.椭圆的标
6、准方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232.故所求椭圆的标准方程为1.方法技巧1.用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程3在求解a2，b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2b2c2，e等构造方
7、程(组)加以求解跟踪探究3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2,0)，求椭圆的标准方程解析：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆过点A(2,0)，所以a2.因为2a22b，所以b1.所以方程为y21.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆过点A(2,0)，所以b2.因为2a22b8，所以a4.所以方程为1.综上，椭圆的标准方程为y21或1.探究三椭圆的离心率问题教材P48练习5题比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？(1)9x2y236与1；(2)x29y236与1.解析：(1)在方程1中，a16，b12，c14，e1.在
8、方程1中，a24，b22，c22，e2.e1e2，9x2y236更扁，1更圆(2)在方程1中，a16，b12，c14，e1.在方程1中，a2，b2，c22，e2.e1e2，x29y236更扁，1更圆例3如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率解析设椭圆方程为1(ab0)F1(c,0)，P(c，yp)，代入椭圆方程得1，y，|PF1|F1F2|，即2c，又b2a2c2，2c，c22aca20，e22e10，又0eb0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.
9、 B.C. D.解析：由PF2F1F2知P点的横坐标为c，代入椭圆方程求得点P的坐标为，在RtPF1F2中，PF1F230，故|PF1|2|PF2|，由|PF1|PF2|2a，得2a，即3b22a2，e，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第28页课后小结(1)椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等在解题中要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式首先判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上再进行求解(2)通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方
10、程(3)椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率从关于a，b，c的一个方程即可求得素养培优1对椭圆的几何性质记忆不牢致误已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为，长轴长为8.求椭圆的标准方程易错分析本题将长轴长误认为是a致误考查直观想象及数学运算自我纠正由题意知2a8，a4.又离心率e ，c2，b2a2c216412，椭圆的标准方程为1.2解决椭圆问题时忽视分类讨论致误若椭圆1的离心率e，求k的值易错分析只是按照椭圆的焦点在x轴上求出k值而漏解考查直观想象和逻辑推理自我纠正(1)若焦点在x轴上，即k89时，a2k8，b29，e2，解得k4.(2)若焦点在y轴上，即0k89时，a29，b2k8，e2，解得k.综上所述，k4或k.
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