1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课后训练巩固提升A组1.在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则等于()A.a+b-cB.-a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c解析:=b-a+c.故选C.答案:C2.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则()A.m,n,p共线B.m与p共线C.n与p共线D.m,n,p共面解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=m+n.又m与n不共线,所以m,n,p共面.答案:D3.已知点A,B,C不共线,对空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点()A.不共面B.共面C.不一定共面D.
2、无法判断解析:=1,P,A,B,C四点共面.答案:B4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则()A.=0B.=0C.=0D.=0解析:由题图观察,平移后可以首尾相接,故有=0.答案:A5.(多选题)给出下列四个命题,其中错误的是()A.空间向量就是空间中的一条有向线段B.不相等的两个空间向量的模必不相等C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=pD.空间中任意两个单位向量必相等解析:有向线段可表示向量,但向量不是有向线段,向量的起点和终点不确定,A错误;相等向量大小相等,方向相同,不相等的两
3、个向量可能模相等,方向不同,B错误;C正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,D错误.答案:ABD6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y(),则实数x=,y=. 解析:),所以x=1,y=.答案:17.已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且与A,B,P三点不共线,+,则实数=.解析:A,B,P三点共线,=,即=(),=(1-)+.又+,解得=.答案:8.已知A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,O是空间任意一点,且点O不在平面ABCD内,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=.解析:A,B,C,D四点共面,=m+n+p,且m
4、+n+p=1.由已知得=(-2x)+(-3y)+(-4z),(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.2x+3y+4z=-1.答案:-19.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.(1)+x+y;(2)=x+y.解:根据题意,画出大致图形,如图所示.(1)=,x=y=-.(2)=2,=2.又=2,=2.=2-(2)=2-2.x=2,y=-2.10.已知e1,e2为两个不共线的非零向量,且=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2 ,求证:A,B,C,D四点共面.证明:假设存
5、在实数,使得=+,即e1+e2=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=(2+3)e1+(8-3)e2.e1,e2为两个不共线的非零向量,解得.由向量共面的充要条件知,共面.又向量有一个公共的起点A,A,B,C,D四点共面.B组1.若P,A,B,C为空间四点(点P,A,B,C不共线),且有=+,则+=1是A,B,C三点共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若+=1,则=(),即=,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则=,故=(),整理得=(1+)-,令=1+,=-,则+=1.故选C.答案:C2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC中,M
6、,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,则=()A.B.C.D.解析:因为点N为BC的中点,所以).又,所以)-.所以)-.所以)-.答案:D3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析:因为+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,且11-6-4=1,所以M,A1,B,D1四点共面,故选C.答案:C4.(多选题)下列四个命题是真命题的是()A.若,则A,B,C,D四点共线B.若,则A,B,C三点共线C.若e1
7、,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则abD.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0解析:根据共线向量的定义,若,则ABCD或A,B,C,D四点共线,故A是假命题;,且有公共起点A,故B是真命题;由于a=4e1-e2=-4-e1+e2=-4b,故ab,故C是真命题;易知D也是真命题.答案:BCD5.如图,在三棱锥O-ABC中,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,则等于.解析:由题意知).因为=a,=b,=c,所以(-a-b+c).答案:(-a-b+c)6.设e1
8、,e2是两个不共线的空间向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k=.解析:=(-e1-3e2)+(2e1-e2)=e1-4e2.A,B,D三点共线,存在实数,使=.2e1+ke2=(e1-4e2).解得k=-8.答案:-87.如图,M,N分别是空间四边形ABCD的棱AB,CD的中点.请判断向量与向量是否共面.解:由题图可得,因为=-=-,所以+得2,即.故向量与向量共面.8.如图,四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断是否共线.解:M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,=-.=-.+2=2()=2.,即共线.