1、课时作业梯级练六十二圆锥曲线中的探究性问题一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2020北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题意,圆心到点(3,4)的距离为1,所以圆心到原点的距离的最小值为-1=4.2已知椭圆E：1，设直线l：ykx1交椭圆E所得的弦长为L.则下列直线中，交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是()Amxym0 Bmxym0Cmxy10 Dmxy20【解析】选D.当直线l过点，取m1，直线l和选项A中的直线重合，故排除A；当直线l过点，取m1，直线l和选项B中的直线关于y轴对称，被椭圆E截得的弦长相
2、同，故排除B；当k0时，取m0，直线l和选项C中的直线关于x轴对称，被椭圆E截得的弦长相同，故排除C；直线l的斜率为k，且过点，选项D中的直线的斜率为m，且过点，这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等3双曲线C：12x24y21上有两个点D，E，满足直线OD和OE的斜率之积为1，则判断的值()A不是定值，与点D，E在双曲线上的位置有关B是定值，这个定值为12C是定值，这个定值为8D是定值，这个定值为4【解析】选C.设直线OD的斜率为k，D点横坐标为xD，显然k，联立得x，|OD|2(1k2)x，8.4(2019株洲模拟)点F为椭圆1(ab0)的一个焦点，若椭圆上
3、存在点A使AOF(O为坐标原点)为正三角形，则椭圆的离心率为()A B1C D1【解析】选B.由题意，可设椭圆的焦点坐标为(c，0)，因为AOF为正三角形，则点在椭圆上，代入得1，即e24，得e242，解得e1.5.(2020全国卷)设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.8【解析】选A.设PF1=m,PF2=n,mn,=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e=,所以a=1.二、填空题(每小题5分，共15分)6(2020沈阳模拟)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，
4、过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为，若l1l2，则下列结论序号正确的有_.1，1，1，4x3y1.【解析】F1，F2，因为l1l2，0，所以0，即xy1，M在圆x2y21上，它在椭圆的内部，故1，故正确，错误；O到直线1的距离为1，O在直线1的下方，故圆x2y21在其下方，即1，故正确；4x3yxy1，但4xx，3yy不同时成立，故4x3yxy1，故成立答案：7已知O为坐标原点，双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点O，P，记双曲线C的左顶点为M，若PMF2PF2M，则双曲线C的渐近线方程为_【解析】依题意，圆
5、的方程为y2，不妨设点P在第一象限，联立，解得x，而PMF2PF2M，故，解得2，故，即所求渐近线方程为yx.答案：yx8已知椭圆1 上有三个不同的点A，B，C，其中A，B关于坐标原点对称，设直线AC，BC的斜率都存在时，它们的斜率之积为定值，这个定值为_【解析】由题意可设点A(x1，y1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kACkBC，因为1，1，所以两个式子相减得0，所以.所以kACkBC.答案：1在平面直角坐标系xOy中，直线l和椭圆C：y21交于A，B两点，关于问题：“是否存在直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点”的答案是()A不存在任何直线l，满足条件B只存在垂直于x轴
6、的直线l，满足条件C存在不垂直于x轴的直线l，满足条件D存在直线l：yx，满足条件【解析】选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x0，y0)，椭圆C的右焦点为F(2，0)，(1)当直线l垂直于x轴时，由椭圆的对称性可得y00，此时弦AB的垂直平分线为x轴，经过右焦点，满足条件(2)设直线l的斜率为k(k0)，直线FP的斜率为k，则，所以(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，所以k，k，所以kk1，即x0(3，3)，所以不存在有斜率的直线l满足条件综上所述，只存在垂直于x轴的直线满足条件2直线l：ykxm与椭圆E：1相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P
7、是椭圆E上一点且满足 (其中O为坐标原点)，在x轴上_(填“存在”或“不存在”)一点T，使得为定值，则T点的坐标为_【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理得(4k23)x28kmx4m2120，由根与系数的关系得x1x2，则y1y2k(x1x2)2m，因为(x1x2，y1y2)(，)，即点P，由于点P在椭圆E上，则21，化简得4m24k23，联立，得，则点Q(4，m4k)，设在x轴上存在一点T(t，0)，使得为定值，(4t，m4k)，为定值，则t10，得t1，因此在x轴上存在定点T(1，0)，使得为定值答案：存在(1，0)3已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别是F
8、1，F2，其离心率为，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为B，求ABF2的面积【解析】(1)由两圆交点在椭圆上，得2a134，得a2，由离心率为，得，得b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)直线AB：yx2与椭圆y21联立，消去y得：5x216x120，解得xB，代入直线AB方程可得yB，且|AF2|ac2，故ABF2的面积为|AF2|yB(2).4如图，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为抛物线上一点(A在x轴上方)，AF5，A点到y轴的距离为4.(1)求抛物线方
9、程及点A的坐标；(2)是否存在y轴上的一个点M，过点M有两条直线l1，l2，满足l1l2，l1交抛物线C于D，E两点l2与抛物线相切于点B(B不为坐标原点)，有|MB|2|MD|ME|成立，若存在，求出点M的坐标若不存在，请说明理由【解析】(1)由抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，满足AF5，A点到y轴的距离为4，由抛物线的定义，可得|AF|xA5，且xA4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，代入xA4，解得yA4，又由A在x轴上方，所以yA4，即A(4，4).(2)假设存在点M，可知直线l1，l2的斜率存在，设l2的方程为ykxt，联立方程组，整理得k2x2(2kt4)xt20，由
10、(2kt4)24k2t20，解得k，此时切点B(t2，2t)，可得|MB|xB|，因为l1l2，所以l1的方程为ytxt，联立，整理得t2x2(2t24)xt20，所以xDxE1，|MD|xD|，|ME|xE|，由|MB|2|MD|ME|可得，t4t21t2，解得t1，所以存在点M(1，0)，符合题意【加练备选拔高】如图,已知椭圆=1(ab0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线P
11、F1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.(3)由于PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得(2k1)x28kx8k80，显然2k10，0.由根与系数的关系得x1x2，x1x2.所以|AB|4.同理可得|CD|4.则，又k1k21，所以().故|AB|CD|AB|CD|.因此存在，使|AB|CD|AB|CD|恒成立
