1、3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(易错点)1.通过复数代数形式的加、减运算，培养学生的数学运算核心素养2通过复数加、减运算几何意义的学习，培养学生直观想象的核心素养.1复数加法与减法的运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2复数加法与减法的运算律对任意z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3)3复数加减法的几何意义复数加法
2、的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离1已知复数z134i，z234i，则z1z2 ()A8iB6C68iD68iBz1z234i34i(33)(44)i6.2复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCiDiA(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A.3已知复数z3i333i，则z()A0B6iC6D66iDz3i333i，z(33
3、i)(3i3)66i.4已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为34i，则向量对应的复数为_1i(34i)(23i)1i.复数加减法的运算【例1】(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.(1)2i(2)(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.复数与复
4、数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)跟进训练1计算：(1)(35i)(34i)_；(2)(32i)(45i)_；(3)(56i)(22i)(33i)_.(1)6i(2)77i(3)11i(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)(25)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)(623)i11i.复数加减运算的几何意义【例2】(1)复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|，则|z1z2|_.(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0、32i、24i
5、，试求：所表示的复数，所表示的复数；对角线所表示的复数；对角线所表示的复数及的长度(1)由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|.(2)解，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|.1用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见
6、结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟进训练2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图则(x，y)(1,2)(x1，y2)(1，2)(2,1)(1，3)，解得故点D对
7、应的复数为2i.复数模的最值问题探究问题1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？提示满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图形？提示|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上3复数|z1z2|的几何意义是什么？提示复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离【例3】(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1BC2D(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值(1)A设复数i，i，1i在复平面内对应的
8、点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2, |Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1，所以|zi1|min1.(2)解如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211.1(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16.2(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解因为|z|1且zC，作图，如图所示
9、：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则1. a，b为实数，设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1iB2iC3D2iDz12bi，z2ai，z1z22bi(ai)0，所以a2
10、，b1，即abi2i.2已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Bzz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限3计算|(3i)(12i)(13i)|_.5|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|5.4已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.1z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.5在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，对应的复数及A，B两点间的距离解向量对应的复数为(3i)(5i)2.，向量对应的复数为(3i)(5i)82i.A，B两点间的距离为|82i|2.