1、复旦附中 2020 届高三第二学期期末考试数学试卷（2020.07.01）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1.若集合12Axx Z，220Bx xx，则 AB _.2.不等式021xx的解集是_.3.已知指数函数的图像过点)4,2(，则其反函数为_.4.若直线01)1(:1ayxal与0)23(:2yaaxl互相垂直，则实数 a 的值为_.5.在行列式20203560412x中，第三行第二列的元素 3 的代数余子式的值为 4，则实数 x的值为_.6.5212xx的展开式中，4x 的系数是_.7.抛物线24yx的准线方程
2、是.8.若实数yx,满足条件026,2xyxyxy，则yxz3的最小值是_.9.设函数，其中若函数在上恰有个零点，则的取值范围是10.已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且(1)(1)fxfx，当(0,1)x时，()eaxf x（其中e是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f ，则实数 a的值为_11.如果方程2|14xy y 所对应的曲线是函数)(xfy 的图像，那么对于函数)(xfy 有如下结论，其中正确结论的序号是_函数)(xfy 在 R 上单调递减；)(xfy 的图像上的点到坐标原点距离的最小值为 1；函数)(xfy 的值域为2,(；函数xxfxF)()(有且只有一个零
3、点12.已知等差数列na的首项11a，若数列na恰有 6 项落在区间)8,21(内，则公差 d的取值范围是二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），该几何体的体积是（）A.31 cm3B.32 cm3C.34 cm3D.38 cm314.已知 A，B 是函数2xy 的图像上的相异两点，若点 A，B 到直线12y 的距离相等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是（）A(,1)B(,2)C(,3)D(,4)15.用 nkkx1表 示 n 个 实 数nxxx,21的 和，设nkkknnnkknaCAqa111,
4、，其 中)1,0()0,3(q，则nnnA2lim的值为（）A.q1B.q11C.qD.q116.已知平面向量)6,2,1(kak满足：)6,2,1(|kkak，且0621aaa，则)()(6521aaaa的最大值是（）A.9B.10C.12D.14三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，已知baBc 2cos2（1）求C的大小；（2）若122CACBuuruur，求 ABC面积的最大值18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8
5、分）已知函数0()(2xxaxxf，常数)a R（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在1)x，上是单调函数，求 a 的取值范围19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如 图，AE平 面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，1ABAD，2AEBC（1）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（2）若二面角EBDF 的余弦值为 13，求线段CF 的长20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为 2，左、右焦点分别
6、为21,FF，且当点 P 在C上移动时，21PFF的最大值为90.直线:l ykxm与椭圆交于不同的两点,A B，与圆2223xy相切于点 M.（1）求椭圆C 方程；（2）证明：OAOB（其中O 为坐标原点）；（3）设|AMBM，求实数 的取值范围21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）设 N 为正整数，区间,1kkkIa a（其中ka R，1,2,kN）同时满足下列两个条件：对任意0,100 x，存在 k 使得kxI；对任意1,2,kN，存在0,100 x，使得ii kxI，其中ii kI表示除kI 外的1N个集合的并集（1）
7、若100N，判断以下两个数列是否满足条件：1(1,2,100)kakk；1(1,2,100)2kkak？（结论不需要证明）（2）求 N 的最小值；（3）判断 N 是否存在最大值，若存在，求 N 的最大值；若不存在，说明理由复旦附中 2020 届高三第二学期期末考试数学试卷（2020.07.01）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1.若集合12Axx Z，220Bx xx，则 AB _.【答案】0,1,22.不等式021xx的解集是_.【答案】1,2(3.已知指数函数的图像过点)4,2(，则其反函数为_.【答案】xy2lo
8、g4.若直线01)1(:1ayxal与0)23(:2yaaxl互相垂直，则实数 a 的值为_.【答案】0 或 45.在行列式20203560412x中，第三行第二列的元素 3 的代数余子式的值为 4，则实数 x的值为_.【答案】26.5212xx的展开式中，4x 的系数是_.【答案】807.抛物线24yx的准线方程是.【答案】161y8.若yx,满足约束条件026,2xyxyxy，则yxz3的最小值是_.【答案】-29.设函数，其中若函数在上恰有个零点，则的取值范围是【答案】10.已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且(1)(1)fxfx，当(0,1)x时，()eaxf x（其中e是
9、自然对数的底数），若(2020ln 2)8f ，则实数 a的值为_【答案】311.如果方程2|14xy y 所对应的曲线是函数)(xfy 的图像，那么对于函数)(xfy 有如下结论：函数)(xfy 在 R 上单调递减；)(xfy 的图像上的点到坐标原点距离的最小值为 1；函数)(xfy 的值域为2,(；函数xxfxF)()(有且只有一个零点其中正确结论的序号是_【答案】【解析】当 y0 时，方程24x y|y|1 化为2214xy（y0），当 y0 时，方程24x y|y|1 化为2214xy（y0）作出函数 f（x）的图像如图：由图可知，函数 f（x）在 R 上不是单调函数，故错误；yf（x
10、）的图像上的点到坐标原点距离的最小值为 1，故正确；函数 f（x）的值域为（，1，故错误；双曲线2214xy的渐近线方程为 y12，故函数 yf（x）与 yx 的图像只有 1 个交点，即函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点，故正确故答案为：12.已知等差数列na的首项11a，若数列na恰有 6 项落在区间)8,21(内，则公差 d的取值范围是【答案】9 98 7，二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），该几何体的体积是（）A.31 cm3B.32 cm3C.34 cm3D.38 cm3【答案】C1
11、4.已知 A，B 是函数2xy 的图像上的相异两点，若点 A，B 到直线12y 的距离相等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是（）A(,1)B(,2)C(,3)D(,4)【答案】B【解析】因为点 A，B 到直线12y 的距离相等，所以可设10,A x y，则20,1,B xyA B在2xy 上，可得120220log,log1xy xy，122020loglog1xxyy20020021log1log24yyyy ，001yy，122xx ，即,A B 的横坐标之和的取值范围是,2，故选 B15.用 nkkx1表 示 n 个 实 数nxxx,21的 和，设nkkknnnkknaCAqa11
12、1,，其 中)1,0()0,3(q，则nnnA2lim的值为（）A.q1B.q11C.qD.q1【答案】B16.已知平面向量)6,2,1(kak满足：)6,2,1(|kkak，且0621aaa，则)()(6521aaaa的最大值是（）A.9B.10C.12D.14【答案】C【解析】三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，已知baBc 2cos2（1）求C的大小；（2）若122CACBuuruur，求 ABC面积的最大值【解析】18.（本题满分 14 分，第 1
13、小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知函数0()(2xxaxxf，常数)a R（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在1)x，上是单调函数，求 a 的取值范围【解析】（1）0a时，)(xf是奇函数；0a时，)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（2）211xx 时，)()()(1)()()()()(2122212221212121222121212222212121axxxxxxxxxxxxxxaxxxxxxaxxxfxf由于2121131121121222121212221xxxxxxxxxxxxx，且211)1(1122222121222212221xxxx
14、xxxxxxxx，因此，由函数tty1的值域性质得，),21(212221 xxxx故当21a时，)(xf在),1 上递增；当21a时，)24()1(2aaaff，且1)2321(21242aaa，此时，函数不单调；故所求为21a.19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如 图，AE平 面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，1ABAD，2AEBC（1）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（2）若二面角EBDF 的余弦值为 13，求线段CF 的长【解析】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB AD AE ，的方向为 x 轴，y 轴，z
15、轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E设(0)CFh h，则1,2,Fh(1)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE 设(,)x y zn为平面 BDE 的法向量，则0,0,BDBE nn即0,20,xyxz 不妨令1z ，可得(2,2,1)n因此有4cos,9|CECECE nnn所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 49(2)设(,)x y zm为平面 BDF 的法向量，则0,0,BDBFmm即0,20,xyyhz 不妨令1y ，可得2(1,1,)hm由题意，有2
16、24|1cos,|343 2hh m nm nmn，解得87h 经检验，符合题意所以，线段CF 的长为 8720.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为 2，左、右焦点分别为21,FF，且当点 P 在C上移动时，21PFF的最大值为90.直线:l ykxm与椭圆交于不同的两点,A B，与圆2223xy相切于点 M.（1）求椭圆C 方程；（2）证明：OAOB（其中O 为坐标原点）；（3）设|AMBM，求实数 的取值范围【解析】（1）椭圆C 的方程为2212xy(2)直线:l ykxm与
17、2223xy相切，2|231mdk，即222 13mk，由2212ykxmxy消去 y 得222124220kxkmxm，设 1122,A x yB x y，则2121222422,1212kmmxxx xkk，12121212OA OBx xy yx xkxmkxm 2222222411212mkmkkmmkk2222222 12232201212kkmkkk，OAOB(3)直线:l ykxm与椭圆交于不同的两点,A B，222212121,122xxyy，2122222112222222221|23|123xxyrAMOArBMOBrxyrx，由(2)知12120 x xy y，22222
18、21212121122xxx xy y即2212214223xxx，221221123234123xxx，又2102x，的取值范围为 1,2221.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）设 N 为正整数，区间,1kkkIa a（其中ka R，1,2,kN）同时满足下列两个条件：对任意0,100 x，存在 k 使得kxI；对任意1,2,kN，存在0,100 x，使得ii kxI，其中ii kI表示除kI 外的1N个集合的并集（1）若100N，判断以下两个数列是否满足条件：1(1,2,100)kakk；1(1,2,100)2kkak？（
19、结论不需要证明）（2）求 N 的最小值；（3）判断 N 是否存在最大值，若存在，求 N 的最大值；若不存在，说明理由【解析】（）ka 可以等于1k ，但ka 不能等于12k ；（）记ba为区间,a b 的长度，则区间0,100 的长度为100，kI 的长度为1由，得100N又因为10,1I，21,2I，10099,100I显然满足条件，所以 N 的最小值为100；（）N 的最大值存在，且为 200 解答如下：（1）首先，证明200N 由，得1I、2I、NI 互不相同，且对于任意 k，0,100kI不妨设12naaa如果20a，那么对于条件，当1k 时，不存在0,100 x，使得1,2,ixI
20、iN这与题意不符，故20a 如果111kkaa，那么11kkkIII，这与条件中“存在0,100 x，使得ixI（其中1i、2、1k 、1k 、N）”矛盾，故111kkaa 所以42 1aa，6412aa，200198199aa，则2001100a 故122000,100III若存在201I，这与条件中“存在0,100 x，使得1,2,200ixI i”矛盾，所以200N（2）给出200N 存在的例子令110012199kak，其中1k、2、200，即1a、2a、200a为等差数列，公差100199d 由1d，知1kkII ，则易得122001 201,22III，所以1I、2I、200I满足条件又公差10011992d，所以1001199kkI，10011,2,1,1,199ikIikkN（注：1001199 k 为区间kI 的中点对应的数）所以1I、2I、200I满足条件综合（1）（2）可知 N 的最大值存在，且为 200
