1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时巩固过关练 十三点、直线、平面之间的位置关系(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016资阳三模)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列叙述正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若m,n,m,n,mn,则D.若m,n,mn,则【解析】选C.在长方体ABCD-ABCD中,(1)令平面ABCD为平面,平面ABCD为平面,AB为直线m,BC为直线n,显然,m,n,但m与n不平行.故A错误.(2)令平面ABCD为平面,平
2、面ABBA为平面,直线BB为直线m,直线CC为直线n,显然,m,n,mn.故B错误.(3)令平面ABCD为平面,平面ABCD为平面,直线BB为直线m,直线BC为直线n,显然m,n,mn,但.故D错误.2.(2016石家庄二模)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若=n,mn,则m且m;若,则.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若n,则内的直线m可能与n平行,也可能与n异面,故错误;若,则,若m,则m,故正确;若m,显然结论错误;以直三棱柱为例,棱柱的任意两个侧面都与底面垂直,但侧面不平行,故错误.3.(2016
3、南昌二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解题导引】对于原图:由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,可得ADBC.在四面体ABCD中,由于ADBD,ADDC,BDDC=D,利用线面垂直的判定定理可得AD平面BCD,进而得到ADBC.利用异面直线的定义即可判断:AD与BC是异面直线.【解析】选C.在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面且垂直.对于原图:因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,所以ADBC.在四面体A
4、BCD中,因为ADBD,ADDC,BDDC=D,所以AD平面BCD.所以ADBC.又AD与BC是异面直线,综上可知,在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面且垂直.4.(2016合肥一模)已知l,m,n为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若=l,m,m,则mlD.若=m,=n,lm,ln,则l【解题导引】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论.【解析】选C.A选项,若m,n,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;B选项,在正方体ABCD -ABCD中,设平面ABCD为平面,平面CDDC为平面,直线BB为直线m,直
5、线AB为直线n,则m,n,但直线AB与BB不垂直,故B错误.C选项,设过m的平面与交于直线a,过m的平面与交于直线b,因为m,m,=a,所以ma.同理可得:mb.所以ab,因为b,a,所以a.因为=l,a,所以al.所以lm.故C正确.D选项,在正方体ABCD-ABCD中,设平面ABCD为平面,平面ABBA为平面,平面CDDC为平面,则=AB,=CD,BCAB,BCCD,但BC平面ABCD,故D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD互相垂直,AC,BD的长分别为8和2,则平行于四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,面积的最大值是_.【解析】
6、如图,由题意知,EFGH为平行四边形,设EH=x(0x2),EF=y(0y8),xy=S(S为所求面积),由EHBD,可得=,=,两式相加,得:=1=+,化简,得8=4x+y,可得:8=4x+y2,(当且仅当2x=y时等号成立),解得:xy4,解得:S=xy4.答案:46.(2016湛江二模)设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若xz,yz,则xy”为真命题的序号是_.x为直线,y,z为平面;x,y,z都为平面;x,y为直线,z为平面;x,y,z都为直线;x,y为平面,z为直线.【解析】x平面z,平面y平面z,所以x平面y或x平面y.又因为x平面y,故
7、x平面y,成立;x,y,z均为平面,则x可与y相交,故不成立;x平面z,y平面z,x,y为不同直线,故xy,成立;x,y,z均为直线,则x与y可平行,可异面,也可相交,故不成立;zx,zy,z为直线,x,y为平面,所以xy,成立.答案:【加固训练】(2016兰州二模),是两个平面,AB,CD是两条线段,已知=EF,AB于B,CD于D,若增加一个条件,就能得出BDEF,现有下列条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与CD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的序号是_.【解析】因为AC,且EF,所以ACEF.又AB且EF,所以EFAB.因为ACAB=A,AC平面ACBD,AB平面
8、ACBD,所以EF平面ACBD.因为BD平面ACBD,所以BDEF.所以可以成为增加的条件.AC与,所成的角相等,AC与EF位置关系不确定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF与平面ACDB不一定垂直,所以就推不出EF与BD垂直.所以不可以成为增加的条件.AC与CD在内的射影在同一条直线上,因为CD且EF,所以EFCD.所以EF与CD在内的射影垂直,若AC与CD在内的射影在同一条直线上.所以EFAC,因为ACCD=C,AC平面ACBD,CD平面ACBD,所以EF平面ACBD,因为BD平面ACBD,所以BDEF.所以可以成为增加的条件.若ACEF,则AC平面,所以BDAC,所以BDEF,
9、所以不可以成为增加的条件.答案:三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016贵阳一模)如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,ADBC,CEBG,且BCD=BCE=,平面ABCD平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.(1)求证:ECCD.(2)求证:AG平面BDE.(3)求几何体EG-ABCD的体积.【解析】(1)由平面ABCD平面BCEG,平面ABCD平面BCEG=BC,CEBC,CE平面BCEG,所以EC平面ABCD,又CD平面BCDA,故ECCD.(2)在平面BCEG中,过G作GNCE交BE于M,连接DM,则由已知可得MG=MN,MNBCDA,且MN
10、=AD=BC,所以MGAD,MG=AD,故四边形ADMG为平行四边形,所以AGDM.因为DM平面BDE,AG平面BDE,所以AG平面BDE.(3)VEG-ABCD=VD-BCEG+VG-ABD=S四边形BCEGDC+SABDBG=22+121=.8.(2016太原一模)直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=4,P为平面ABCD外一点,且PA=PB,PD=PC,N为CD的中点.(1)求证:平面PCD平面ABCD.(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE平面ABP,若存在,请确定E点的位置,若不存在,请说明理由.【解析】(1)取AB的中点M,连接PM,PN,MN,则PMAB,PN
11、CD,又四边形ABCD是直角梯形,ABBC,所以MNAB.因为PMMN=M,所以AB平面PMN.又PN平面PMN,所以ABPN.因为AB与CD相交,所以PN平面ABCD.又PN平面PCD,所以平面PCD平面ABCD.(2)假设存在,在PC,PB上分别取点E,F,使BF=BP,CE=CP,连接EF,MF,NE,则EFBC且可求得EF=BC=3.因为MN=3且MNBC,所以EFMN且EF=MN.所以四边形MNEF为平行四边形,所以ENFM.又FM平面PAB,所以在线段PC上存在一点E,使得NE平面ABP,此时CE=PC.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.ABCD -A1B1C
12、1D1是棱长为1的正方体,一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动,每走完一条面对角线称为“走完一段”.质点的运动规则如下:运动第i段与第i+2段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.不妨设质点运动路线为AB1B1CCD1D1A,即走过4段后又回到起点A.可以看作以4为周期,所以段数是4.【加固训练】下列关于空间的直线和平面的叙述,正确的是()A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面,那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个
13、平面的一条垂线,那么这两个平面垂直【解析】选C.对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.对于B,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,如直三棱柱的两个侧面都与底面垂直,故B错误.对于C,设a,b,a,b,ab,过空间一点P分别作a,b的平行线m,n,则mn=P.设m,n所确定的平面为,过P作平面的垂线l,则lm,ln.因为a,b,所以存在直线a,b,使得aa,bb,且a与b为相交直线.所以la,lb,所以l,同理l,所以.故C正确.对于D,在长方体ABCD-EFGH中,AB平面ABCD,FG平面EFGH,ABFG,显然平面ABCD平面EFGH,故D错误.2.已知
14、,为两个平面,l为直线,若,=l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直【解析】选D.由,=l,知:垂直于平面的平面与平面平行或相交,故A不正确;垂直于直线l的直线若在平面内,则一定垂直于平面,否则不一定,故B不正确;垂直于平面的平面与l的关系有l在平面内或l与平面平行或相交,故C不正确;由平面垂直的判定定理知:垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,故D正确.【加固训练】已知异面直线a与b所成角为锐角,下列结论不正确的是()A.不存在一个平面使得a,bB.存在一个平面使得a,bC.
15、不存在一个平面使得a,bD.存在一个平面使得a,b【解析】选D.在A中,因为异面直线a与b,所以不存在一个平面使得a,b,故A正确;在B中,在空间中找一点A,Aa且Ab,过点A分别作直线a与b的平行线a,b,则a,b确定一个平面使得a,b,故B正确;在C中,若存在一个平面使得a,b,则由直线与平面垂直的性质得ab,这与已知异面直线a与b相矛盾,故不存在一个平面使得a,b,故C正确;在D中,若存在一个平面使得a,b,则ab,这与已知异面直线a与b所成角为锐角矛盾,故D错误.3.已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出了下列命题:若m,m,则;若mn,m,则n;若m,则m;若=m,nm
16、,且n,n,则n,n.正确的命题有()A.B.C.D.【解析】选C.由,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,知:若m,m,则由面面垂直的判定定理得,故正确;若mn,m,则n或n,故错误;若m,则m与相交、平行或m,故错误;若=m,nm,且n,n,则由线面平行的判定定理得n,n,故正确.4.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,则下列命题正确的是()A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为1D.以上都不对【解析】选B.因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,所以在四棱锥E-ABCD中,相邻两条侧棱所
17、成的角为60,而AE与CE所成的角为90,故A错;因为AE=CE=1,AC=,满足勾股定理的逆定理,所以AECE,同理AFCF,AEAF,所以四边形AECF是正方形,故B正确;设点A到平面BCE的距离为h,由VE-ABCD=2VA-BCE,所以11=2h,解得h=,所以点A到平面BCE的距离为,故C错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是_.(填序号)【解析】由题意知,BD平面A
18、DC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由判断知,BD面ADC,面ABC不经过直线BD,则平面ADC与平面ABC不可能垂直,则错.答案:6.ABC三个顶点A,B,C在平面同侧,B,C两点到平面的距离都为2,A到平面的距离为4.则ABC的重心G到平面的距离等于_.【解析】设A,B,C在平面上的投影为A,B,C,则BB=CC=2,AA=4.延长AG交BC于D,则D为BC的中点,设D,G在平面上的投影为D,G.则DD=BB=2,AADDGG.=.过D作DMAA于M,交GG于N,
19、则四边形DDGN,DDAM是矩形,所以NG=DD=AM=2,GN=AM=.所以GG=NG+GN=2+=.答案:【加固训练】下列正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号).【解析】对于,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面MNP;对于,注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于,注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于,易知此时AB与平面MN
20、P相交.综上所述,能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是.答案:三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.如图,已知三棱锥A-BPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为PB中点,且PMB为正三角形.(1)求证:DM平面APC.(2)求证:平面ABC平面APC.(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)由已知得,MD是ABP的中位线,所以MDAP,因为MD平面APC,AP平面APC,所以MD平面APC.(2)因为PMB为正三角形,D为PB的中点,所以MDPB,所以APPB.又因为APPC,PBPC=P,所以AP平面PBC.因为BC平面PBC,所以A
21、PBC.又因为BCAC,ACAP=A,所以BC平面APC,因为BC平面ABC,所以平面ABC平面APC.(3)由题意可知,三棱锥A-BPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为PB中点,且PMB为正三角形.MD平面PBC,BC=4,AB=20,MB=10,DM=5,PB=10,PC=2.MD是三棱锥D-BCM的高,SBCD=42=2.所以VD-BCM=VM -DBC=SBCDMD=25=10.8.如图所示,在直角梯形ABCD中,ABCD,BCD=90,BC=CD=2,AF=BF,ECFD,FD底面ABCD,M是AB的中点.(1)求证:平面CFM平面BDF.(2)点N在CE上,EC=2,FD
22、=3,当CN为何值时,MN平面BEF.【解题导引】(1)推导出四边形BCDM是正方形,从而BDCM,又DFCM,由此能证明CM平面BDF,进而证明平面CFM平面BDF.(2)过N作NOEF,交DF于O,连接MO,则四边形EFOE是平行四边形,连接OE,则四边形BMOE是平行四边形,由此能推导出N是CE的中点时,MN平面BEF.【解析】(1)因为FD底面ABCD,所以FDCM,FDAD,FDBD,因为AF=BF,所以ADFBDF,所以AD=BD,连接DM,则DMAB,因为ABCD,BCD=90,所以四边形BCDM是正方形,所以BDCM,因为DFCM,所以CM平面BDF,又CM平面CFM,所以平面
23、CFM平面BDF.又CM平面CFM,所以平面CFM平面BDF,(2)当CN=1,即N是CE的中点时,MN平面BEF,证明如下:过N作NOEF,交DF于点O,连接MO,因为ECFD,所以四边形EFON是平行四边形,因为EC=2,FD=3,所以OF=1,所以OD=2,连接OE,则OEDCMB,且OE=DC=MB,所以四边形BMOE是平行四边形,则OMBE,又OMON=O,BEEF=E,BEEF=E,所以平面OMN平面BEF,因为MN平面OMN,所以MN平面BEF.【加固训练】如图,四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABCD,ABC=90,且CD=2,AB=BC=PA=1,PD=.(1)
24、求三棱锥A-PCD的体积.(2)问:棱PB上是否存在点E,使得PD平面ACE?若存在,求出的值,并加以证明;若不存在,请说明理由.【解析】(1)取CD的中点G,连接AG,因为CD=2AB,ABCD,所以ABGC,AB=GC,所以四边形AGCB为平行四边形,所以AGD=DCB=ABC=90,在RtAGD中,因为AG=BC=1,DG=CD=1,所以AD=,所以PD2=3=PA2+AD2,所以PAD=90,即PAAD,因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PA平面ABCD,因为SACD=CDAG=1,所以VA-PCD=VP-ACD=SACDPA=11=.(2)棱PB上存在点E
25、,当=时,PD平面ACE.证明如下:连接BD交AC于点O,连接OE.因为ABCD,CD=2AB,所以=,所以=,又=,所以=,所以OEDP,又OE平面ACE,PD平面ACE,所以PD平面ACE.1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上一点.(1)当CF=2时,求证:B1F平面ADF.(2)若FDB1D,求三棱锥B1-ADF的体积.【解析】(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为B1B底面ABC,AD底面ABC,所以ADB1B.因为BCB1B=B,所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面
26、B1BCC1,所以ADB1F.在矩形B1BCC1中,因为BC=2,D是BC中点,CC1=3,CF=2,C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以RtDCFRtFC1B1.所以CFD=C1B1F.所以B1FD=90,所以B1FFD.因为ADFD=D,所以B1F平面ADF.(2)因为AD平面B1DF,AD=2,又B1D=,CD=1,因为FDB1D,所以RtCDFRtBB1D,所以=.所以DF=.所以=AD=2=.2.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,若N是BC的中点,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所
27、示.(1)证明:AN平面CME.(2)证明:平面BDE平面BCD.(3)求三棱锥D-BCE的体积.【解析】(1)连接MN,则MN是BCD的中位线,所以MNCD,MN=CD.由侧视图可知AECD,AE=CD,所以MN=AE,MNAE.所以四边形ANME为平行四边形,所以ANEM.因为AN平面CME,EM平面CME,所以AN平面CME.(2)由俯视图可知AC=AB,因为N是BC的中点,所以ANBC,又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,AN平面ABC,所以AN平面BCD.由(1)知ANEM,所以EM平面BCD.又EM平面BDE,所以平面BDE平面BCD.(3)由俯视图得ABAC,AB
28、=AC=2,所以BC=AB=2,因为N是BC中点,所以AN=BC=,所以EM=.由侧视图可知CD=4,CDBC,所以SBCD=BCCD=24=4.所以VD-BCE=VE-BCD=SBCDEM=4=.3.如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD.底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点.(1)求证:AC平面SBD.(2)若E为BC中点,点P在侧面SCD内及其边界上运动,并保持PEAC,试指出动点P的轨迹,并证明你的结论.【解题导引】(1)由菱形性质得ACBD,由等腰三角形性质得ACSO,由此能证明AC平面SBD.(2)动点P的轨迹是SCD的中位线FG,利用平面EFG平面ABD,AC
29、平面SBD,得出AC平面EFG,从而证明ACFG,动点P在FG上.【解析】(1)因为底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点,所以ACBD,O是AC中点,连接SO,因为SA=SC,所以ACSO,因为SOBD=O,所以AC平面SBD.(2)取CS,CD的中点F,G,连接EF,EG,FG,因为E是BC中点,所以EFBS,又EF平面SBD,BS平面SBD,所以EF平面SBD.同理,FG平面SBD,又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,所以平面EFG平面SBD.又AC平面SBD,所以AC平面EFG.又FG平面EFG,所以ACFG,所以动点PFG,所以动点P的轨迹是SCD的中位线.关闭Word文档返回原板块