1、第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环(3)特殊的四棱柱2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平
2、行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画虚线1常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形
3、2三视图的绘制在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线3斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”4直观图与原图形面积的关系S直观图S原图形(或S原图形2S直观图)1下列结论正确的是()A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B六条棱长均相等的四面体是正四面体C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底
4、面与截面之间的部分才叫圆台，D错误2如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()ABCD答案C解析由几何体的结构可知，如题图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3. (2022天水模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()A2B2C4D8答案D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，BOA45且OB2，那么在原图形中，BOA 90且OB4，因
5、此，原平面图形的面积为248.故选D.4(2020全国卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()AEBFCGDH答案A解析根据三视图，画出多面体立体图形，如图所示，正视图中M点即为端点所在位置，其在侧视图中所对应的点为E.故选A.5若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱故选D.6(2021全国乙卷)以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_(写出
6、符合要求的一组答案即可)答案(或)解析根据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知只能是侧视图，只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是或.若为，则如图1；若为，则如图2.考向一空间几何体的结构特征例1(1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B.1 C.2 D.3答案A解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体
7、不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等(2)给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念
8、可知识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可1.下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由
9、几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确考向二平面图形与其直观图的关系例2(1)(2021四川泸州诊断考试) 如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为()A24B12C48D20答案A解析解法一：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.故选A.解法二：由题意可知，S四边形OABCOAOC2612，S原2S四边形OABC24.故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所
10、在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_答案解析解法一：因为OE 1，所以OE，EF，所以直观图ABCD的面积为S(13).解法二：如图，过点C作CHAB于点H，CD1，ADCB，AB3，CH1，S四边形ABCD(13)12.直观图ABCD的面积为S2.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量2.已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的直观图ABC的面积为()A.a2Ba
11、2C.a2Da2答案D解析解法一：如图所示的平面图形和直观图可知ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于点D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.解法二：由题意可知，SABCa2，SABCa2a2.3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_答案8 cm2解析解法一：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图2 cm2，故S原图形2S直观图8 cm2.精准设
12、计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2021黄山一模)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在侧视图中为虚线，所以
13、侧视图为B.角度由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)(2022九江模拟)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是()A2B3C4D5答案C解析由三视图知，将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥PABCD.易知四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.角度由两个视图补画第三个视图例5(1)(2022绵阳模拟) 将一个长方体沿相邻
14、三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线故选B.(2)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_答案解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图，所以该几何体的俯视图为.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定
15、几何体的形状，即可得到结果(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑(3)常见的三视图对应的几何体三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图故选A.5(2021全国甲卷) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥AEF
16、G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()答案D解析根据已知条件作出所得多面体的直观图如图所示，由直观图可知该多面体的侧视图为D.6(2021成都模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为()A1B2C3D4答案B解析设点P在平面A1ADD1的射影 为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示所以三棱锥PBCD的正视图与侧视图分别为PAD与PCD，因此所求面积SSPADSPCD12122.故选B.1. 如图所示，从三棱台ABCABC中截去三棱锥AABC，则剩余部分是
17、()A三棱锥B四棱锥C三棱柱D三棱台答案B解析剩余部分是四棱锥ABBCC，故选B.2(2021江西新余模拟)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()答案A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3如图，直观图所表示的平面图形是()A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形答案D解析直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后如图，ACy轴，BCx轴所以ABC是直角三角形故选D.4. (2022甘肃白银模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案C解析该几何体的侧视图是从左边向
18、右边看故选C.5(2021新高考卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2B2C4D4答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以2rl.所以l2r2.故选B.6如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()答案A解析正视图中棱AD看不见，俯视图中棱BD看不见，均为虚线，故选A.7. 某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如右图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()答案D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长
19、度相等，只有等边三角形不可能故选D.8(2022江西吉安模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABCDEF 截去一个三棱锥ABCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正(主)视图是()答案C解析由于三棱柱为正三棱柱，故侧面ADEB底面DEF，DEF是等边三角形，所以CD在面ADEB上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面DEF不垂直故选C.9一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()答案D解析该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD.故选D.10. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,
20、1)，(2,2,2)给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和答案D解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则空间几何体ABCD即为满足条件的四面体，得出其正视图和俯视图分别为和，故选D.11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3 D2答案B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱
21、底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为2，故选B.12(2021安徽马鞍山模拟) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10B12C14D6答案B解析由多面体的三视图还原直观图如图所示该几何体由上方的三棱锥ABCE和下方的三棱柱BCEB1C1A1构成，其中侧面CC1A1A和侧面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为212.故选B.13中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南
22、北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_答案261解析先求面数，有如下两种解法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826个面解法二：一般地，对于凸多面体，有顶点数(V)面数(F)棱数(E)2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱
23、长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNFx.又AMMNNF1，xxx1.x1，即半正多面体的棱长为1.14(2021河南六校联考)现有编号为，的三个三棱锥(底面水平放置)，其俯视图分别为图1，图2，图3，则至少存在一个侧面与其底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_答案解析编号为的三棱锥，其直观图可能是图，侧棱VC底面ABC，则侧面VAC底面ABC，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是图，侧面PBC底面ABC，满足题意；
24、编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图)，不存在侧面与底面垂直故答案为.15若已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积解如图所示是ABC的直观图ABC.作CDy轴交x轴于点D，则CD对应ABC的高CD，CD2CD2CO2aa.而ABABa，SABCaaa2.16. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由正视图和侧视图的三角形，结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图(
25、1)V(86)464.(2)四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则VOE为直角三角形，VE为VBC的边BC上的高，VE 4.同理，侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h 5.所以S24024.17如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是多少？解由三视图可知，该多面体是一个三棱锥，其直观图如图三棱锥ABCD.将其放入棱长为2的正方体模型中，可求得AC2，BCBD，AD2，AB 3，故最长的棱的长度为3.18. 一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解(1) 由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形所以S2(11112)62.