1、课时作业梯级练五十二圆 的 方 程 一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知两圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,则两圆圆心间的距离为()A.5B.8C.3D.2【解析】选A.因为圆心C1为(5,3),圆心C2为(2,-1),所以两个圆心间的距离为d= =5.2.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部,则a的取值范围是()A.|a| B.|a|1C.|a| D.|a|1【解析】选D.由已知,得(4a)2+(3a)225.所以a21,所以|a|1.3.已知直线l:x-y+2=0,圆C:(x-3)2+y2=4,若点P是圆C
2、上所有到直线l的距离中最短的点,则点P的坐标是()A.(3+ , )B.(3- , )C.(3- ,- )D.(3+ ,- )【解析】选B.圆C:(x-3)2+y2=4的圆心坐标为(3,0),半径为2,过圆心与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0与圆的方程联立得 解得 所以它与圆的交点坐标为(3+ ,- )和(3- , ),由题知,点P是圆C上所有到直线l的距离中最短的点,所以点P的坐标为(3- , ).4.已知半径为1的圆经过点 ,则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.设圆心C ,则 =1,化简得 + =1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的
3、圆,所以|OC|+1|OM|= =5,所以|OC|5-1=4,当且仅当C在线段OM上时,取得等号.5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心, 为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,由 得C(-1,2).所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知实数x,y满足x2+y2-6x-8y+21=0,则
4、x2+y2的最大值是.【解析】由题意可得x2+y2-6x-8y+21=0表示圆心为C ,半径r=2的圆,x2+y2表示圆上的点P 到原点O的距离的平方,作直线CO,交圆C于两点A,B,(图略),其中B为离O转远的点,则PO的最大值为 = +r=5+2=7,所以x2+y2的最大值为49.答案:497.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.【解析】将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d= = ,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1= +1.答案:1+ 8.已知隧道的截面是半径为4 m
5、的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车驶入这个隧道(填“能”或“不能”).假设货车的最大宽度为a m(a4),那么要正常驶入该隧道,货车的限高为m.【解析】以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y0).将x=2.7代入,得y= = 0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.【解析】设动点P的坐标为(x,y),由 =a(a0)得 =a2,化简得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2+(1-a2)y2=0.当a=1时,方
6、程化为x=0;当a1时,方程化为 +y2= .所以当a=1时,点P的轨迹为y轴;当a1时,点P的轨迹是以点 为圆心, 为半径的圆.10.在平面直角坐标系xOy中, 曲线y=x2-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且CACB,求a的值.【解析】(1)曲线y=x2-6x+5与坐标轴的交点分别为(0,5),(1,0),(5,0),设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 ,解得: ,故圆C的方程为x2+y2-6x-6y+5=0.(2)由CACB得ABC为等腰直角三角形,设圆心到直线AB的距离为d,圆C的半径为r,则r= ,|
7、AB|= r,d= = = ,解得:a= . 1.(5分)(2020北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.设圆心C(x,y),则 =1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1|OM|= =5,所以|OC|5-1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号.2.(5分)(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A. B. C. D. 【解析】选B.由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则
8、圆至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,由题意设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离均为d1= = ;圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离均为d2= = ,所以圆心到直线2x-y-3=0的距离均为d= = ;所以,圆心到直线2x-y-3=0的距离为 .3.(5分)已知过点(0,2)的圆C的圆心在直线2x+y=0上,则圆C的面积最小时圆C的方程是()A.
9、 + = B. + = C. + = D. + = 【解析】选A.根据题设分析知,圆C半径r的最小值rmin= = ,此时圆C的圆心为直线2x+y=0与直线y-2= (直线x-2y+4=0)的交点.联立方程 解得 所以所求圆C的方程是 + = .4.(5分)关于下列命题,正确的个数是()(1)若点 在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,则k2或k0,整理得3k2-640,所以 解得- k-4或2k ,命题(1)为假命题;对于命题(2),直线y=kx过原点O,圆M: + =1的圆心M的坐标为 ,且 =1,所以圆心M到直线y=kx的距离d1,则直线与圆相交或相切,命题(2)为假命题;对于命
10、题(3),圆C的标准方程为x2+ =1,圆心C的坐标为 ,半径长为1,圆心C到直线2x+y+4=0的距离为d= = ,所以 = ,则 = =2,所以四边形PACB的面积的最小值为2 =2,命题(3)为真命题;对于命题(4),直线系M的方程为 cos +ysin -2=0,由于点 到直线系M的距离为d= =2,直线系M中所有的直线都是圆D: +y2=4的切线,如图所示. =2,DAE=30,所以 = =2 ,所以等边三角形ABC的边长为4 ,所以,M中的直线所能围成的正三角形面积为 =12 ,命题(4)为真命题.因此,真命题的个数为2.【加练备选拔高】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,动点P在正方体的表面上运动,且与点A的距离为2 .动点P的集合形成一条曲线,则整条曲线的周长是.【解析】因为|AB|=3|AP|=2 r2对m0,1成立,即r2 .故圆C的半径r的取值范围为 .