1、第5讲指数与指数函数1指数及指数运算(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数(a0)负数没有偶次方根(2)分数指数幂a (a0，m，nN*，n1)；a(a0，m，nN*，n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义(3)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ).2指数函数及其性质(1)指数函数的概念函数yax(a0且a1)
2、叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数(2)指数函数的图象和性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1()na(nN*且n1).2.n为偶数且n1.3底数对函数yax(a0，且a1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4)，不论是a1，还是0a0，且a1时，函数yax与函数y的图象关于y轴对称1化简(2)6(1)0的结果为()A9 B7 C10 D9答案B解析(2)6(1)0(26)17.2函数f(x)1(x0)的值域为
3、()A(，2 B(2，)C(0，2 D(1，2答案D解析当x0时，(0，1，1(1，2，即函数f(x)的值域为(1，2.3(2021四川南充模拟)已知(0.61.2)a(1.20.6)a，则实数a的取值范围是()A(0，) B(，0)C(1，) D(，1)答案B解析由指数函数y0.6x是减函数知，00.61.20.601.由指数函数y1.2x是增函数知，1.20.61.201，0.61.21.20.6.由(0.61.2)a(1.20.6)a可知，幂函数yxa在第一象限应为减函数，故a0，故选B.4(2022河南南阳模拟)已知a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbc，所以b，所以ac
4、，所以bc0，xx.又(xx1)2x2x229，x2x27.考向一指数幂的运算例1求值与化简：(1)8100；(2) (3) (4)已知a0，aa3，求的值解(1)原式(23) (102) (22)3221012686.(4)将aa3两边平方，得aa129，所以aa17.将aa17两边平方，得a2a2249，所以a2a247，所以6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运
5、算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一1.计算0.027(1)0.解原式(0.33) 72149145.2化简：ab2(3ab1)(4ab3) (a0，b0).解原式ab3(4ab3) ab3(ab)ab.解4已知a3(a0)，求a2aa2a1的值解a3，a22a9211，而a2213，a，a2aa2a111.考向二指数函数的图象及其应用例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴上的截距小于1可
6、知ab0，所以b0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 答案解析当0a1时，y|ax1|的图象如图1.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a1时，y|ax1|的图象如图2，而此时直线y2a不可能与y|ax1|的图象有两个交点综上，0a0，且a1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0，1)，.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)根据函数图象的变换规律得到的结论函数yaxb(a0，且a1)的图象可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向左(b0)或向右(b0，且a1)的图象向上(b0)或向下
7、(b0，且a1)在0，)的图象相同；当x0，a1)的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A的是()Ay By|x2|Cy2x1 Dyx3答案A解析由题意知f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，即A(1，1)，又0，所以点(1，1)不在y的图象上故选A.6已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象(如图中实线所示)，又abf(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，02a1，f(a)|2a1|12a，f(c)|2c1|2c1.又f(a)f(c)，即12a
8、2c1.2a2c2.精准设计考向，多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度比较指数幂的大小例3(1)(2022上海延安中学模拟)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca答案C解析因为y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以bac.(2)设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()AMN BMNCMN DMN答案D解析因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a
9、1)0.21，N1，所以MN.故选D.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较7.(2021福建漳州模拟)已知0ab(1a)b B(1a)b(1a)C(1a)a(1b)b D(1a)a(1b)b答案D解析y(1a)x是减函数，(1a)a(1a)b，(1a)(1a)b，(1a)b(1a)a，又yxb在(0，)上是增函数，1b1a，1a1b，(1b)b(1a)b，(1a)b(1
10、b)b，(1b)b(1a)a，(1a)a(1b)b.D正确，其余都错误8已知0ay1，则下列各式中正确的是()Axaya Baxay Daxya答案B解析对于A，1，0a1，xaya，A错误；0ay1，axay，B正确，C错误；对于D，axy01，axya，D错误故选B.角度解简单的指数不等式例4(1)(2021湖南湘潭高三检测)若f(x)exaex为奇函数，则满足f(x1)e2的x的取值范围是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)答案B解析由f(x)exaex为奇函数，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，则f(x)在R上单调递增，又f(x1)e
11、2f(2)，所以x12，解得x1，故选B.(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3，1)D(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1为71，即8，即，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1为1，所以0aab的不等式，需借助函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1与0ab的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数yax的单调性求解9.已知函数f(x)的值域是8，1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3，0)C3，1 D3答案B解析当0x4时，f(x)8，1，当ax0时，f(x)，8，1，即81，即3a
12、0，实数a的取值范围是3，0).故选B.10(2022上海青浦区摸底)不等式2x24x3的解集为 答案(2，3)解析由2x24x3得2x24x3233x，因为函数f(x)2x在R上是增函数，所以x24x333x，解得2x3.角度与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数y的单调递减区间为 答案(，1解析设ux22x1，y为减函数，函数y的减区间即函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所求减区间为(，1.(2)函数y1在区间3，2上的值域是 答案解析令t，因为x3，2，所以t.故yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.与指数函数有关的复合函数的
13、单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的(3)分层逐一求解函数的单调区间(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).11.已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是 答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4.12已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值
14、解(1)当a1时，f(x)，令tx24x3，由于tx24x3在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2).(2)令g(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y的值域为(0，)，应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0，)时，a的值为0.1计算1.58
15、0.25()A0 B1 C D2答案D解析2下列函数中，值域为正实数集的是()Ay5x ByCy Dy3|x|答案B解析1xR，y的值域是正实数集，y的值域是正实数集3给出下列结论：当a1，nN*，n为偶数)；函数f(x)(x2) (3x7)0的定义域是；若5a0.3，0.7b0.8，则ab0.其中正确的是()A B C D答案B解析当a0，a30，故错误；05a1，00.7b1，a0，ab0，故错误4(2022蚌埠质检)已知0ab1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是()Aaa Bab Cba Dbb答案C解析0ab1，ab1，即aaab，同理可得，babb，又aa，即ba最大5(202
16、1湖北八校联考)已知函数f(x)，则f(x)是()A奇函数，且在R上是增函数B偶函数，且在(0，)上是增函数C奇函数，且在R上是减函数D偶函数，且在(0，)上是减函数答案C解析函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)，则f(x)f(x)0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)显然是减函数故选C.6已知f(x)ax和g(x)bx是指数函数，则“f(2)g(2)”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由f(x)ax与g(x)bx是指数函数可知a0，b0.充分性：若“f(2)g(2)”成立，即a2b2，由于a，b都是正数，则ab，充分性成立；
17、必要性：若ab，则f(2)a2b2g(2)，必要性成立综上所述，“f(2)g(2)”是“ab”的充要条件故选C.7(2021长春市模拟)若存在正数x使2x(xa)1成立，则实数a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案D解析把不等式2x(xa)1变形为xa.在同一平面直角坐标系内作出直线yxa与y的图象由题意，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方观察可知，有a1.8(2022山西阳泉摸底)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)g(x)2x，则有()Af(2)f(3)f(0)Bf(0)f(3)f(2)Cf(2)f(0)f(3)Df(0)f(2)
18、f(3)答案D解析函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x).由f(x)g(x)2x，得f(x)g(x)2x，f(x)g(x)2x，即f(x)g(x)2x，与f(x)g(x)2x联立，得f(x)，f(0)0，f(2)，f(3)，f(0)f(2)0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减故选B.10(2021福建厦门第一次质量检查)已
19、知ab0，xabeb，ybaea，zbaeb，则()Axzy BzxyCzyx Dyzb0，e1，eaeb，yz，zx(ba)(ab)eb(ab)(eb1)，又ab0，eb1，zx.综上，xz0，所以3x11，所以03，所以122，所以1f(x)2，当1f(x)0时，f(x)1，当0f(x)1时，f(x)0，当1f(x)b0，若f(a)f(b)，则bf(a)的取值范围是 答案解析画出函数f(x)的大致图象，如图所示由图象可知，要使ab0，f(a)f(b)成立，则b1.bf(a)bf(b)b(b1)b2b，所以bf(a)0，且a1)满足f(1)1，若函数g(x)f(x1)4的图象不过第二象限，则
20、a的取值范围是 答案(2，5解析f(1)1，a11，即a2.函数g(x)f(x1)4的图象不过第二象限，g(0)a1140，a5，a的取值范围是(2，5.16已知函数y2x2ax1在区间(，3)内单调递增，则a的取值范围为 答案6，)解析函数y2x2ax11是由函数y2t和tx2ax1复合而成因为函数tx2ax1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y2t在R上单调递增，所以函数y2x2ax1在区间上单调递增，在区间上单调递减又函数y2x2ax1在区间(，3)内单调递增，所以3，即a6.17已知关于x的函数f(x)2x(aa2)4x，其中aR.(1)当a2时，求满足f(x)0的实数x的取值
21、范围；(2)若当x(，1时，函数f(x)的图象总在直线y1的上方，求实数a的整数值解(1)当a2时，f(x)2x24x0，即2x22x1，x2x1，x1.故实数x的取值范围是(，1.(2)f(x)1在x(，1上恒成立，即aa2在x(，1上恒成立.因为函数和在x(，1上均为单调递减函数，所以在(，1上为单调递增函数，最大值为.因此aa2，解得a.故实数a的整数值是0，1.18.函数yF(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)ax与幂函数g(x)xb“拼接”而成(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m4)b(32m)b，求m的取值范围解(1)依题意，得解得所以F(x
22、)(2)因为ab，ba，指数函数y在R上单调递减，所以，即abba.(3)由(m4) (32m) ，得解得m0恒成立，求实数k的取值范围解(1)由于g(x)是指数函数，设g(x)ax(a0，且a1)，由g(3)8得a38，解得a2，故g(x)2x.所以f(x).由于f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)0，则n1，所以f(x).由于f(x)f(x)0，所以0，即(2m)(12x)20恒成立，则m2，所以f(x).(2)由(1)得f(x)，所以f(x)是在R上单调递减的奇函数由于对任意t1，4，不等式f(2t3)f(tk)0恒成立，所以f(2t3)f(tk)，即f(2t3)f(kt)，即2t3
23、3t3，由于t1，4，所以3t30，9，所以k9.20定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)1.(1)当a1时，求函数f(x)在(，0)上的值域，并判断函数f(x)在(，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在0，)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围解(1)设yf(x)1.当a1时，yf(x)1(x0)，令t，x1，yt2t1，y1，即函数f(x)在(，0)上的值域为(1，)，不存在常数M0，使得|f(x)|M成立函数f(x)在(，0)上不是有界函数(2)由题意，知|f(x)|3对x0，)恒成立，即3f(x)3对x0，)恒成立，令t，x0，则t(0，1.at对t(0，1恒成立，a.设h(t)，p(t)t，t(0，1，h(t)在(0，1上递增，p(t)在(0，1上递减，h(t)在(0，1上的最大值为h(1)5，p(t)在(0，1上的最小值为p(1)1.实数a的取值范围为5，1.