1、第四节 二项式定理及其应用1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.知识梳理1二项式定理：n_(nN*)其通项是：Tr1_(r0,1,2，n)，亦可写成：Tr1Canr.其中，C(r0,1,2，n)叫做二项式系数，而系数则是字母前的常数n_(nN*)特别地：n_(nN*)答案：2二项展开式系数的性质：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即_(2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得_值如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即n为偶数时：max Cn ；如果二项式的幂指数
2、是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大，即n为奇数时：max Cn Cn .(3)所有二项式系数的和等于2n，即_2n(用赋值法可以证明)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即CCCC2n1.答案：3在使用二项展开式的通项公式Tr 1 Canrbr时，要注意：(1)通项公式是表示第r1项，而不是第r项(2)展开式中第r1项的二项式系数C与第r1项的系数不同(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr 1 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方
3、程(或方程组)这里必须注意n是正整数，r是非负整数，且rn.4证明组合恒等式常用赋值法基础自测1(2013新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a ()A4 B3C2 D1解析：由x2的系数为5 得CaC5，解得a1.故选D.答案：D2.8的展开式中常数项为()A. B. C. D105解析：原式展开式的第r1项为Tr1C()8rrrCx4r.令4r0，则r4.所以展开式中常数项为4C.故选B.答案：B3(2013揭阳一模)若二项式n的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为_(用数字作答)解析：由题意可得，CC，解得n9.因为9的展开式的通
4、项为Tr1rCx9rxrCx9，令96，解得r2.此时的系数为2C9.答案：94若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0, 则a1a2a3a4a5_(用数字作答)解析：令x1得a5a4a3a2a1a01；令x0，得a032.所以 a5a4a3a2a131.答案：311(2013辽宁卷)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7解析：展开式的通项公式Tr1C(3x)nrr，所以Tr13nrCxnr，r0,1,2，n.令nr0，nr，故最小正整数n5.故选B.答案：B2(2012湖北卷)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B
5、1 C11 D12解析： 512 012aa(1341)2 012a(1134)2 012a1C(134)C(134)2C (134)2 012，显然当a113k，kZ，即a113k，kZ时，512 012a134CC(134)1C(134)2 01113k，能被13整除因为aZ，且0a13, 所以a12.故选D.答案：D3(2013大纲全国卷)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84 C112 D168解析： (1x)8展开式中x2的系数是C，(1y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1x)8(1y)4展开式中x2y2的系数为CC286168.故选D.答案：D1如果n展开式中，第4项与第6项的系数相等，则n_，展开式中的常数项的值等于_答案：8702(2013江门二模)(12x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于_解析：设(12x)n的展开式的通项公式为Tr1，则Tr1C(2x)r2rCxr，令r3得展开式中x3的系数为：8C，令r2得展开式中x2的系数为4C.依题意，8C44C，即2，解得n8.答案：83已知展开式(x1)6a0a1xa6x6，则a0a6_.解析：展开式的通项公式为Tr1Cx6r(1)r，r6时，a01；r0时，a61，所以a0a62.答案：2