1、课时作业梯级练九幂函数与二次函数一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.2.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a0),f(m)0,则f(m+1)的值为()A.正数B.负数C.0D.符号与a有关【解析】选A.函数y=x2+x在x轴以下的部分时,-1x0,所以f图象由函数y=x2+x的图象向上平移,所以小于零的区间长会小于1,又因为f0,所以m+1一定跨出了
2、小于零的区间,所以f一定是正数.3.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.acbD.bca【解析】选A.由题图知,当x=1时,y=b,当y=1时1=logcxx=c,又幂函数y=xa为增函数且上凸,故a.故abc.【加练备选拔高】若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为()A.-1m0n1B.-1n0mC.-1m0nD.-1n0m0时,y=x在(0,+)上为增函数,且01时,图象上凸,所以0m1.当0时,y=x在(0,+)上为减函数.不妨令x=2,由图象得2-12n,则-1n0
3、.综上可知,-1n0m0的对称轴x=-a,得a.5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确.对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,错误.结合图象,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f=,则f的值是_.【解析】f(8)=4,因为f(x)为奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-4.答案
4、:-4【加练备选拔高】若f(x)=x是幂函数,且满足=3,则f=_.【解析】因为f(x)=x,则有=3,解得2=3,=log23,所以f=.答案:7.若,则a的取值范围为_.【解析】因为,所以或或解得a或a的解集为_.【解析】等价于,所以(x-1)2(3x+1)2,解得-1x0.答案:8.函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间0,2上有最小值3,则a的值为_.【解析】f(x)=4-2a+2,当0,即a0时,函数f(x)在0,2上是增函数.所以f(x)min=f(0)=a2-2a+2.由a2-2a+2=3,得a=1.因为a0,所以a=1-.当02,即0a0,因为方程f(x)=0的两个
5、实根x1,x2满足|x1-x2|=2,又因为f(x)=m(x+1)2-1=0时,x=-1,所以|-1+-(-1-)|=2,所以=1,m=1,所以f(x)=(x+1)2-1=x2+2x;(2)g(x)=x2+2x-kx=x2+(2-k)x,因为函数g(x)=f(x)-kx在区间-1,2上的最大值为f(2),最小值为f(-1),所以-1,所以k0.10.已知点在幂函数y=f的图象上.(1)求f的表达式;(2)设g=f-x-1,求函数y=g的零点,推出函数y=g的另外一个性质(只要求写出结果,不要求证明),并画出函数y=g的简图.【解析】(1)因为f为幂函数,所以设f(x)=xa,又在f的图象上,所
6、以=2a=3,所以f(x)=x3;(2)由(1)知f(x)=x3,故g=f-x-1=x3-,令g(x)=0,解得x=1或x=-1,故函数y=g的零点为1;g=x3-,故其定义域为,值域为R,又g(-x)=(-x)3-=-x3+=-g(x),故g(x)为奇函数,根据单调性的性质可知g(x)在上单调递增,在上单调递增;(以上性质任选其一即可).函数y=g的图象如图.1.(5分)(2021福州模拟)已知f(x)=(a1),函数g(x)为幂函数且过点,则函数h(x)=f(x)g(x)的图象大致为()【解析】选A.因为f(x)=(a1),所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,设g(x)=xa,
7、因为g(x)过点所以2=,解得a=-1,所以g(x)=,所以函数g(x)=为奇函数,则函数h(x)=f(x)g(x)为偶函数,排除B,D.又x0时,h(x)+,故选A.2.(5分)函数f(x)=x(-1)在m,n上的最小值为-,最大值为2,则n-m的最大值为()A.B.+C.D.2【解析】选B.当x0时,f(x)=x(|x|-1)=x2-x=-,当x0时,f(x)=x(|x|-1)=-x2-x=-(x+)2+,作出函数f(x)的图象(图略)可得:当x0时,由f(x)=x2-x=2,解得x=2.当x=时,f=-.当x0时,由f(x)=-x2-x=-,即4x2+4x-1=0,解得x=,所以此时x=
8、,因为m,n上的最小值为-,最大值为2,所以n=2,m,所以n-m的最大值为2-=+.3.(5分)已知二次函数f(x)=x2+bx+c,若对任意的x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|6,则b的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.因为二次函数f(x)=x2+bx+c=+c-,对称轴x=-,-2时,函数f(x)在-1,1上递增,f(x)min=f(-1)=1-b+c,f(x)max=f(1)=1+b+c,故f(-1)-f(1)=-2b,|f(1)-f(-1)|=|2b|6得21时,即b-2时,|f(1)-f(-1)|=|2b|6得-3b-2,当-1-1,即-2b2时,函数f(x
9、)在上递减,函数f(x)在上递增,所以|f(1)-f|6,且|f(-1)-f|6,即|+b+1|6,且|-b+1|6,解得:-3b3,故b的取值范围是.4.(10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(其中a0)满足下列3个条件:函数f(x)的图象过坐标原点;函数f(x)的对称轴方程为x=-;方程f(x)=x有两个相等的实数根.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=f(x)-(1+2)x,若函数g(x)在-2,1上的最小值为-3,求实数的值.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过坐标原点,故c=0;因为函数f(x)的对称轴方程为x=-,故-=-;因为方程f(x)=x有两个相等的实
10、数根,即ax2+x=0有两个相等的实数根.则=0.综上,解得a=b=1,故f=x2+x.(2)g(x)=f(x)-(1+2)x=x2-2x,其对称轴为x=;当-2时,g在-2,1上单调递增,故g=g=4+4=-3,解得=-,不满足题意,舍去;当-21时,g在上单调递减,在上单调递增,故g=g=2-22=-2=-3,解得=,故满足题意的=-;当1时,g在上单调递减,故g=g(1)=1-2=-3,解得=2,满足题意.综上所述,满足题意的=2或=-.5.(10分)函数y=F(x)的图象如图所示,该图象由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成.(1)求F(x)的解析式.(2)比较ab
11、与ba的大小.(3)若(m+4)-b(3-2m)-b,求m的取值范围.【解析】(1)依题意得解得所以F(x)=(2)因为ab=,ba=,指数函数y=单调递减,所以,即abba.(3)由(m+4(3-2m,得解得-m,所以m的取值范围是.1.(2021乐山模拟)已知函数f=x2-2mx-3,若对于x,f2-m恒成立,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.x,f(x)2-m恒成立,等价于x,f(x)-2+m0恒成立.令g(x)=f(x)-2+m=x2-2mx+m-5,对称轴为x=m.即等价于x,gmax(x)0即可.当m1时,得到解得:-m1.当1m2时,得到解得:1m-.2.已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2f(x2);(2)x1f(x1)f(x2);(4)f(x1)f(x2),其中正确结论的序号是_.【解析】设函数f(x)=x,依题意有=2,所以=-,因此f(x)=.令g(x)=xf(x)=x=,则g(x)在(0,+)上单调递增,而0x1x2,所以g(x1)g(x2),即x1f(x1)x2f(x2),故(1)错误,(2)正确;令h(x)=,则h(x)在(0,+)上单调递减,而0x1h(x2),即,于是f(x1)f(x2),故(3)正确,(4)错误.答案:(2)(3)
