1、第6讲抛物线一、选择题1.(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B.1 C. D.2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PFx轴知，|PF|2，所以P点的坐标为(1，2).代入曲线y(k0)得k2，故选D.答案D2.点M(5，3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y12x2 B.y12x2或y36x2C.y36x2 D.yx2或yx2解析分两类a0，a0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形.因
2、此不妨设A，B，又点A，B在双曲线y2x21上，从而1，所以p2.答案2三、解答题9.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围.(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，2，p4.抛物线C的方程为y28x.(2)证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则kPQ，又P，Q关于l对称.kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中点一定在l
3、上，22p.线段PQ的中点坐标为(2p，p).解PQ的中点为(2p，p)，即即关于y的方程y22py4p24p0，有两个不等实根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范围为.10.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2p
4、x1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.11.(2017汉中模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A.4 B.4 C.p2 D.p2解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，则x1x2；若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：yk(x)，联立y22p
5、x得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.又y2px1，y2px2，yy4p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2.故4.答案A12.(2016四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1解析如图，由题可知F，设P点坐标为(y00)，则()，kOM，当且仅当y2p2等号成立.故选C.答案C13.(2016湖北七校联考)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_.解析如图，
6、过A作AHl，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn1，连接AF，则|AF|AH|mn1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即，即mn的最小值为1.答案114.(2017南昌模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值.解(1)由题意知F1(1，0)，F2，F1F2OP，(1，1)10，p2，抛物线C2的方程为x24y.(2)设过点O的直线为ykx(k0)，联立得M，联立得N(4k，4k2)，从而|MN|，又点P到直线MN的距离d，进而SPMN22，令tk(t2)，则有SPMN2(t2)(t1)，当t2时，此时k1，SPMN取得最小值.即当过点O的直线为yx时，PMN面积的最小值为8.