1、情境试题创新练(六)概率与统计1.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.据某机构预测,n(n10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系,且回归方程为y=0.4x+1.2,若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元,则该城市职工的月恩格尔系数约为()A.60%B.64%C.58%D.55%【解析】选B.把x=5代入回归方程y=0.4x+1.2中,得y=0.45+1.2=3.2;则该城市职工的月恩格尔系数约为 =0.64=64%.2.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分,常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美
2、意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形P1P2P8的中心,P1P8x轴,现用如下方法等可能地确定点M:点M满足2 + + =0(其中1i8,1j8,且i,jN*,ij),则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为()A. B. C. D. 【解析】选D.因为确定一个 需从8个向量 (1i8)中任取两个有 =28种取法,用列举法得使点M(异于点O)落在坐标轴上的取法与 结合的有 , 两个,由于每个向量都对应两个,但重复一次,所以共有 =8种,则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为 = .3.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径22
3、 mm,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是()A. mm2B. mm2C. mm2D. mm2【解析】选B.芝麻落在军旗内的概率P= = ,设军旗的面积为S,由题意可得: = ,所以S= 112= (mm2).4.如图,将一个正方形平均划分为9个小正方形,去掉中间的小正方形,再对余下的小正方形重复这一操作,得到的图形称为“谢尔宾斯基地毯”,在原正方形内部随机取一点,则该点取自“谢尔宾斯基地毯”的概率是()A. B. C. D. 【解析】选A.设大正方形的边长为9,则每个小正方形的边长为1,则大正方形的
4、面积为99=81,则每个小正方形的面积为1,则所有黑色正方形的面积之和为33+8=17,则剩余部分的面积为81-17=64,则对应概率P= .5.整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”,把这六个数随机分成两组,一组2个数,另一组4个数,则220和284在同一组的概率为()A
5、. B. C. D. 【解析】选C.已知220和284,1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”,把这六个数随机分成两组,一组2个数,另一组4个数,基本事件总数n= ,220和284在同一组包含的基本事件个数m= + ,故220和284在同一组的概率P= = .6.如图是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时绘制的“赵爽弦图”,该图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,这是我国用数形结合的方法对勾股定理的最早证明.记直角三角形中较小的锐角为,且cos 2= .若在大正方形内随机取一点,则此点取自小正方形的概率是()A. B. C. D. 【解析】选C.由
6、cos 2= 得1-2sin2= ,解得sin = .设小三角形的三边长分别为3,4,5,则大正方形的边长为5,小正方形的边长为1.故所求概率为P= = .7.易经是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为.【解析】从八卦中任取两卦有 =28种;这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线有 + =6(种),则两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率P= = .答案: 8.1876年4月1日,加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的
7、一种证明方法,即在如图所示的直角梯形ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理,人们把这一证明方法称为“总统证法”.设tanBEC= ,在梯形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是.【解析】在直角BCE中,因为tanBEC= ,所以sinBEC= ,cosBEC= ,a=ccosBEC,b=csinBEC,所以P= = = = .答案: 9.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气,如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘
8、任务,现在四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘,在制签及抽签公平的前提下,甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为.【解析】某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务,现在四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘,在制签及抽签公平的前提下,基本事件总数n= =24,甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务包含的基本事件个数:m= + =14,所以甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为P= = = .答案: 10.鞋匠刀形是一种特殊的图形,古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图,已知长方形ABCD,AB=2AD,点E为线段AB的一个三等分点且AE=2EB,分别以线段AB,AE,BE为直径且在AB同侧作半圆,则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形(即图中阴影部分).若在长方形ABCD内随机取一点,则该点取自鞋匠刀形内的概率为.【解析】设AE=2r1,BE=2r2,则AB=2r1+2r2,r1=2r2,所以阴影部分的面积为:S= - - =r1r2,所以在长方形ABCD内随机取一点,该点取自鞋匠刀形内的概率为:P= = = = .答案: