1、第3节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫作等比数列.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，我们称G为a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1
2、)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN+)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.常用结论与微点提醒1.若数列an为等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列.2.由an1qan，
3、q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.()解析(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S4
4、0，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A. B.2 C.2 D.解析由题意知q3，即q.答案D3.(2018江西七市联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案C4.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.解析由an12an，知数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由Sn126，解
5、得n6.答案65.(2017北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，则1.答案1考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.(2)(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析(1)由an为等比数列，设公比为q.由得显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31(2)38.(2)设数列an
6、首项为a1，公比为q(q1)，则解得所以a8a1q72732.答案(1)8(2)32规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【训练1】 (1)(2018吉安调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则a1()A.2 B.1C. D.(2)(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.
7、解析(1)由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍)或q，将q代入S23a22，得a1a13a12，解得a11，故选B.(2)设等比数列an的公比为q，解得a1a2anaq12(n1)2.记t(n27n)，结合nN+，可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数.所以a1a2an的最大值为64.答案(1)B(2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】 (1)(教材习题原题)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)(2018云南11校调研)已知数列
8、an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A.40 B.60 C.32 D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.(2)数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案(1)B(2)B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则ama
9、napaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2018西安八校联考)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()A. B.1 C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.解析(1)依题意得，a()3，a6，3b67，b6，故tantantan.(2)法一由等比数列的性质S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，.法二因为an为等比数列，由3
10、，设S63a，S3a，所以S3，S6S3，S9S6为等比数列，即a，2a，S9S6成等比数列，所以S9S64a，解得S97a，所以.答案(1)A(2)考点三等比数列的判定与证明【例3】 (2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5，得1，即.解得1.规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等
11、比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017安徽江南十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明因为anSnSn1(n2)，所以Sn2(SnSn1)n4(n2)，则Sn2Sn1n4(n2)，所以Snn22Sn1(n1)2(n2)，又由题意知a12a13，所以a13，则S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2等比数列.(2)解由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n
12、2n.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知an，bn都是等比数列，那么()A.anbn，anbn都一定是等比数列B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列C.anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列D.anbn，anbn都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.答案C2.(2018南昌模拟)在单调递减的等比数列an中，若a31，a2a4，则a1()A.2 B.4 C. D.2解析在等比数列an中，a2a4a1，又a2a4，数列an为递减数列，所以a22，a4，所以q2，所以q，a14.答案B3.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如
13、下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7381，公比q2.381，解得a13.答案B4.设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B. C. D.解析因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，则8(S9S6)(1)2，S9S6，即a
14、7a8a9.答案A5.(2018渭南调研)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B. C. D.解析根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，2，成等差数列，由a11，a23，得b12，b2，公差d，bn，an.答案an13.(2017合肥模拟)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列.解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn, 得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN+，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾.故数列an1不是等比数列.
