1、6.3二项式定理6.3.1二项式定理A组1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(x+1)10,展开式中含x5的项的系数为=207.答案:D2.在()12的展开式中,含x的正整数次幂的项为()A.第1项、第7项与第13项B.第10项C.第10项与第13项D.第12项解析:()12的展开式的通项为Tr+1=)12-r()r=(0r12),6-(0r12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.答案:A3.组合式-2+4-8+(-2)n的值等于()A.(-1)nB.1C.3n
2、D.3n-1解析:-2+4-8+(-2)n(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)n=(1-2)n=(-1)n.答案:A4.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A.(2x+2)5B.2x5C.(2x-1)5D.32x5解析:原式=(2x+1)-15=(2x)5=32x5.答案:D5.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项解析:Tr+1=,则r分别取0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,故x的幂指数有5项是整数项.答案:C6.在(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字
3、作答)解析:设展开式的第k+1项为Tk+1,k0,1,2,3,4,5,则Tk+1=(2x)5-k()k=25-k.当5-=3时,k=4,即T5=25-4=10x3.答案:107.233除以9的余数是.解析:233=811=(9-1)11=911-910+99-+9-,因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:88.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,故根据二项式定理的展开式可知,2(11-1)10被11除的余数为2,又2+a能被11整除,可知a=9.答案:99.已知在(x-)n的展开
4、式中,第二项与第四项的系数之比为12,求含x2的项.解:(x-)n展开式的第二项与第四项分别为T2=xn-1(-)=-nxn-1,T4=xn-3(-)3=-2xn-3.依题意得,即n2-3n-4=0,解此方程并舍去不合题意的负值,得n=4.设(x-)4展开式中含x2的项为第k+1项,则Tk+1=x4-k(-)k,由4-k=2,得k=2,即(x-)4展开式中含x2的项为T3=x2(-)2=12x2.10.已知,求(1)展开式中第四项的二项式系数;(2)展开式中第四项的系数;(3)展开式中的第四项.解:的展开式的通项是Tk+1=(3)10-k310-k.(1)展开式中第四项的二项式系数为当k=3时
5、,=120.(2)展开式中第四项的系数为37=-77 760.(3)展开式中的第四项为T4=37=-77 760.11.已知在的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项.解:Tr+1=)n-r,由前三项系数的绝对值成等差数列,得=2,解这个方程得n=8或n=1(舍去).(1)展开式的第4项为T4=-7.(2)当r=0,即r=4时,常数项为.B组1.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析:二项式(x+i)6展开式的通项Tr+1=x6-rir,则其展开式中含x4的项是当6-r
6、=4,即r=2时,展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.答案:A2.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy1,即x的取值范围是(1,+).答案:D3.(x2+2)的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3解析:第一个因式取x2,第二个因式取含的项得1(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得2(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.答案:D4.在的展开式中,x6的系数是()A.180B.20C.-20D.-180解析:由=x2+-4x2+-4x2+-4x2+-4x2+-4,则x2+-45的展开式中,x6的系数是(-4
7、)2+41(-4)0=180.答案:A5.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.解析:二项展开式的通项公式Tk+1=x20-k(y)k=)kx20-kyk(0k20).要使系数为有理数,则k必为4的倍数,故k可为0,4,8,12,16,20,共6项.答案:66.设(a0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a=.解析:对于Tr+1=x6-r(-a)r=(-a)r,B=(-a)4,A=(-a)2.由B=4A,a0,知a=2.答案:27.若(x+a)2的展开式中的常数项为-1,则a的值为.解析:由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式的通项为Tk+1=(-1
8、)kxk-5,其中k=0,1,2,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中的常数项为1(-10)+2a5+a2(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.答案:1或98.(2+x)(1-2x)5的展开式中,x2项的系数为.解析:x2项的系数为2(-2)2+(-2)=70.答案:709.求证:1+2+22+25n-1(nN*)能被31整除.证明因为1+2+22+25n-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31+-1=3
9、1(31n-1+31n-2+),显然31n-1+31n-2+为整数,所以原式能被31整除.10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,nN*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为,(1+2x)4展开式的通项为(2x,f(x)g(x)的展开式含x2的项为1(2x)2+x(2x)+x21=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,所以+2=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4,nN*,所以n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.