1、四川省广元市万达中学、八二一中学2018-2019高二下学期期中考试数学（文）试题时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,则集合PQ的交点个数是（ ）A. 0 个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中，画出函数和的图象，结合图象，即可求解，得到答案。【详解】由题意，在同一坐标系中，画出函数和的图象，如图所示，由图象看出，和只有一个交点，所以的交点个为1，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两
2、个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题。2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A. 抽签法B. 系统抽样法C. 分层抽样法D. 随机数法【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C考点：本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.3.已知平面向量，则（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模.【详解】因为，所以，因此.故选A【点睛】本
3、题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.4.设为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错；对于B，mn，mn或m，故错；对于C，mn，mn，正确；对于D，mn，mn或m，故错；故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)对于类似直线平面位置关系的判断，可以利用举反例和直接证明法.5.如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积
4、为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】先由题意确定其侧视图为矩形，求出矩形的长和宽，即可得出结果.【详解】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形的边长为2，所以其高为，即侧视图的宽为，又三棱柱的高为2，即侧视图的长为2，所以三棱柱侧视图的面积为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.6.若函数的部分图像如右图所示，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可。【详解】由可排除B、D，由可排除C，故选A.【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度
5、中等。7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【详解】解：当，时，成立，则，成立，则，成立，则，成立，则，不成立，输出，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键8.等比数列an中，则与的等比中项是（ ）A. 4B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列an的性质可得 ，即可得出【详解】设与的等比中项是x由等比数列的性质可得， a4与a8的等比中项 故选：A【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题9.若，则的最小值为（）A. B. C
6、. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案。【详解】由题意，因为，则当且仅当且即时取得最小值.故选：B【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。10.在ABC中,若,则ABC的面积为（ ）A B.1 C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：由结合余弦定理，可得，则故答案选C考点：余弦定理，同角间基本关系式，三角形面积公式11.直线过双曲线焦点且与实轴垂直，是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）A. B. C. D.
7、 【答案】A【解析】【分析】先设双曲线的焦点，直线，由两直线的夹角公式可得，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可求出结果.【详解】设双曲线的焦点，直线，可设点，由两直线的夹角公式可得，由可得，化简可得，即，当且仅当，即时，离心率取得最大值为.故选A【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的最大值，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12.定义在R上的奇函数，当时，则关于x的函数的所有零点之和为（ ）A. B. 0C. D. 【答案】A【解析】分析】函数零点转化为：在同一坐标系内的图象交点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函数的
8、图象，结合图象及其对称性，求出答案.【详解】因为当时，即时，当时，当时，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是_【答案】y=【解析】【分析】由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，
9、即可求解渐近线的方程，得到答案。【详解】由双曲线的方程，可得，又由焦点在轴上，故渐近线方程为，故答案为【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。14.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x0处的切线斜率为，因为x0时，所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.15.已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的最大值为_【答案】；【解析】绘制不等式组表示可行域
10、，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最小值 ，在点 处取得最大值 .则的取值范围为；16.下列四个命题：当为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在轴上的抛物线的标准方程是；已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是；抛物线的准线方程为；已知双曲线 ，其离心率，则的取值范围是.其中正确命题的序号是_（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】【解析】【分析】先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断的真假；根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出的真假；由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得的真假；根据双曲
11、线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出的真假.【详解】因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故正确；因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故正确；抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故正确；因为为双曲线，所以，又离心率为，所以，解得，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查圆锥曲线综合，熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可，属于常考题型.三.解答题（共5道小题,17至21每小题12分，共60分）17.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若函数，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x
12、值。【答案】（1）1；（2）5【解析】【分析】（1）由，得到，再由余弦的倍角公式，即可求解。（2）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，化简得，再根据三角函数的性质，即可求解。【详解】（1）由题意知，向量，即，即，又由。（2）因为，故当，即时，有最大值，最大值是5【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用去，其中熟记向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：求
13、：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数. （2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？【答案】（1）40；（2）65.2kg；（3）P=0.28【解析】【分析】（1）根据频率直方图的性质，即可求解这100名学生中体重在（56，64）的学生人数；（2）根据频率分布直方图中样本的平均数的计算公式，即可求解；（3）根据频率分布直方图的性质，即可求得样本数据中低于62kg的频率。【详解】（1）根据频率直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为：（人）；（2）根据
14、频率分布直方图得，样本的平均数是： 即利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重是65.2kg；（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg的频率是 ，这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg的概率是【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。19.已知数列an的前n项和为Sn，且满足，.（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且，求数列的前n项和Qn【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为3、公比为
15、3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，即可求解。【详解】（1）当时，得，由，得，两式相减得，又，又，显然，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，；（2）设数列的公差为，则有，由得，解得，又，=【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，.（1）求证：EF平面DCP；（
16、2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：方法一：取中点，连接，分别是中点, ，为中点，为正方形，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二： 取中点，连接，.是中点，是中点，又是中点，是中点，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，又，平面/平面.平面平面方法四：平面
17、,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 则设平面法向量为，则, 即, 取，所以 ，又平面， 平面. 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面法向量为，则, 即，取,则设平面法向量为，则, 即, 取，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利
18、用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（）若点为，求直线的方程； （）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，求的取值范围【答案】(）：.（）【解析】【分析】（）设直线PA方程为，直线PB方程为，分别与抛物线的方程联立方程组，根据直线与抛物线相切，分别求得的坐标，即可得到的方程；（）设，得直线PA方程为，直线PB方程为，联立方程组，得出时方程的两根，进而得出，即可求解.【详解】（）设直线PA方程为，直线PB方程为，由，可得，因为PA与抛物线相切，所以，取
19、，则，即A（1，1）同理可得B（1，-1）所以AB：（）设，则直线PA方程为，直线PB方程为由可得因为直线PA与抛物线相切，所以=同理可得，所以时方程的两根所以，则=.又因为，则，所以=.【点睛】本题主要考查抛物线方程的应用、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.已知极坐标系
20、的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长【答案】(1) ；.(2) .【解析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去参数t即可；曲线的极坐标方程为：，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为;（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线被曲线截得的线段长为点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，
21、用直角坐标求解使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标23.函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，分，三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由的解集为空集，得恒成立，再由绝对值不等式的性质求出的最大值，即可得出结果.【详解】解：（1）当时，不等式，即，当时，原不等式可化为，即，显然不成立，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，即，显然成立，即满足题意；综上，原不等式的解集为；（2）由的解集为空集，得的解集为空集，所以恒成立，因为，所以，所以当且仅当，即时，所以，解得，即的取值范围是【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的方法以及含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.