1、 湖南省蓝山二中2012届高三第六次月考数学（文）试题 (考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若Ax|x10，Bx|x30，b0)的离心率为，抛物线y220x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为A.1 B.1C.1 D.18.已知实系数一元二次方程x2(1a)xab10的两个实根为x1、x2，满足0x12.则的取值范围是A
2、.(1，) B.(3，1)C.(3，) D.(3，)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.sin45cos15cos45sin15的值为.10.若adbc，则复数.11.函数y2cos21的最小正周期是.12.若直线l：y1k(x2)被圆C：x2y22x240截得的弦AB最短，则直线AB的方程是.13.有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.14.已知向量a(3,4)，|ab|1，则|b|的范围是.15.某同学在研究函数f(x)(xR)时，分别给出下面几个结
3、论：等式f(x)f(x)0对xR恒成立；函数f(x)的值域为(1,1)；若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)；函数g(x)f(x)x在R上有三个零点.其中正确结论的序号有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足a2abb2c2.(1)求角C；(2)若ABC的面积为，c2，求ab的值.17.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，E、M分别是DC、BC的中点.(1)证明：AM面PME
4、；(2)求二面角PAMD的大小.18.(本小题满分12分)已知：ABC为直角三角形，C为直角，A(0，8)，顶点C在x轴上运动，M在y轴上，()，设B的运动轨迹为曲线E.(1)求B的运动轨迹曲线E的方程；(2)过点P(2,4)的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足，求直线l的方程.19.(本小题满分13分)统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列的前4项，后6组的频数分别是等差数列的前6项，(1)求数列、的通项公式；(2)设m、n为该校学生的数学月考成绩，且已知m、n，求事件“10”的概率.20.(本小题满分13分)为
5、了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离，(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AMAN12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值.21.(本小题满分13分)定义在
6、D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M，都有f(x)M成立，则称f是D上的有界函数，其中M称为函数f的下界.已知函数f(x)(x23x3)ex，其定义域为2，t(t2)，设f(2)m，f(t)n.(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在2，t上为单调递增函数；(2)试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f在定义域上是否为有界函数，请说明理由；(3)求证：对于任意的t2，总存在x0(2，t)满足(t1)2，并确定这样的x0的个数.参考答案一、选择题题号12345678答案BCBDDACC二、填空题9.10.3i11.212.xy3013.14.4,615.三、解答题17.解
7、：(1)连接EA，PCD为正三角形，PECD，平面PCD平面ABCD，PE平面ABCD，PEAM.(3分)四边形ABCD是矩形，ADE、ECM、ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM，AM，AE3，EM2AM2AE2，AME90，AMEM.(4分)又EMPEE，AM面PME.(6分)(2)AM平面PME，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角，PEPDsin60，tanPME1，PME45，二面角PAMD为45.(12分)18.解：(1)由()，知M为BC中点，(2分)设B(x，y)则M(0，)，C(x,0).(4分)又C为直角，故0，x24y(5分)B的运动轨迹曲线E的方程为x24y.
8、(x0)(6分)(2)，点P是线段QN的中点，设Q(x1，y1)、N(x2，y2)，线段QN的中点P(2,4)，设l：y4k(x2)方法一：则x4y1，x4y2，得：4y14y2(x1x2)(x1x2)，(8分)直线l的斜率为k(x1x2)1.(11分)方法二：由，消去y得x24kx8k160，(*)方程(*)中16(k22k4)0，显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8分)由x1x24k4k1.(11分)所以直线l的方程为xy20.(12分)19.解：(1)由已知：第2组的频数为3，第3组的频数为9，又前4组的频数是等比数列，所以an3n1，(3分)又第4组的频数为27，后6组是首项为27
9、，和是87的等差数列，所以bn5n32.(6分)(2)由(1)知成绩在中的有3人，成绩在中的有2人，分别记为：a1，a2，a3和b1，b2，由10知，这两人必来自两个不同的组，(8分)所以事件“10”的概率为.(13分)20.解：(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系.设曲线E上点P(x，y)，|PA|PB|108动点轨迹为椭圆，且a5，c4，从而b3.曲线E的方程为1.(4分)(2)由|AM|AN|BM|BN|20，|AM|AN|12，所以|MN|8.(8分)(3)将yxt代入1，得34y218ty9t22590.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.，SSABPSABQAB，所以当t0时，面积最大是，此时直线为l：yx.(13分)21.解：(1)f(x)(x23x3)ex(2x3)exx(x1)ex.由f(x)0x1或x0；由f(x)00x1，所以f(x)在(，0，1，)上单调递增，在0,1上单调递减，要使f(x)在2，t上为单调递增函数，则2m.因为f(x)在(，0，1，)上单调递增，在0,1上单调递减，所以f(x)在x1处取极小值e.又f(2)2时，f(2)f(t)，即m4或2t1时，g(2)g(t)0，所以g(x)0在(2，t)上有解，且只有一解；