1、7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值A组1.有两台在两地独立工作的雷达,两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为,则E()的值为()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22解析:当=0时,P(=0)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015;当=1时,P(=1)=0.9(1-0.85)+0.85(1-0.9)=0.135+0.085=0.22;当=2时,P(=2)=0.90.85=0.765.所以E()=00.015+10.22+20.765=1.75.答案:B2.设随机变量X的分布列如表所示,已知E(X)=1.6,则a-b=
2、()X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4解析:由随机变量分布列的性质,得0.1+a+b+0.1=1,即a+b=0.8.已知E(X)=1.6,即00.1+1a+2b+30.1=1.6,即a+2b=1.3.由,可得a=0.3,b=0.5,所以a-b=0.3-0.5=-0.2.答案:C3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为()A.B.C.2D.解析:X的可能取值为2,3.P(X=2)=,P(X=3)=.所以E(X)=2+3=+2=.答案:D4.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则
3、再重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,则此人试验次数X的均值是()A.B.C.D.解析:试验次数X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以试验次数X的分布列为X123P于是E(X)=1+2+3.答案:B5.(多选题)已知随机变量的分布列是-102Pcos 其中,则()A.+cos =1B.cos =,sin =C.E()=1D.以上均不正确解析:对于A,由离散型随机变量分布列的性质,得+cos =1,故正确;对于B,由A,得sin +2cos =2,解方程组故正确;对于C,E()=-+2cos =-+2=1,故正确.故选
4、ABC.答案:ABC6.设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又X的均值E(X)=3,则a+b=.解析:因为P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,所以E(X)=1(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)=3,即14a+6b=3.又因为(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,即6a+3b=1.由,可得a=,b=-,所以a+b=-.答案:-7.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8
5、例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是.解析:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6 0000.96+(-25 000)0.04=4 760(元).答案:4 760元8.某项游戏活动的奖励分为一、二、三等奖,且相应的获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应的奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的数学期望为元.解析:由随机变量分布列的性质,可得a1+2a1+4a1=1,解得a1=,从而2a1=,4a1=.因此参与该游戏获得奖金X的分布列为X700560420P所以E(X)=700
6、+560+420=500(元).答案:5009.对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲单独解出该题的概率为,乙单独解出该题的概率为,设解出该题的人数为X,求E(X).解:设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B.由题意知,X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=P()P()=,P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=,P(X=2)=P(A)P(B)=.所以解出该题的人数X的分布列为X012P故E(X)=0+1+2.10.某中学选派40名学生参加某市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示.培训次数123参加人数51520(1)从这40名学
7、生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率;(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P=1-.(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,则随机变量X的分布列为X012P所以X的数学期望E(X)=0+1+2.B组1.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)=()A.2B.2或C.D.1解析:由离散型随机变量分布列的性质,得=1,且0,解得a=1.因为随机变量X服从两点分布,
8、所以E(X)=.答案:C2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相等,已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析:设A,B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=20.80.2=0.32,P(X=2)=0.20.2=0.04,所以E(X)=00.64+10.32+20.04=0.4.答案:D3.一名射击运动员对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中
9、的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4解析:设命中后剩余子弹数为,则的可能取值为0,1,2,3.因为P(=0)=0.44+0.430.6=0.064,P(=1)=0.420.6=0.096,P(=2)=0.40.6=0.24,P(=3)=0.6,所以E()=00.064+0.0961+0.242+0.63=2.376.答案:C4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一名游客游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(
10、)等于()A.1.48B.0.76C.0.24D.1解析:随机变量的可能取值为1,3,=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(=3)=0.40.50.6+0.60.50.4=0.24,从而P(=1)=1-0.24=0.76.所以随机变量的分布列为13P0.760.24从而E()=10.76+30.24=1.48.答案:A5.袋中有大小、质地相同的3个黑球,1个红球.从中任取2个,取出一个黑球得0分,取出一个红球得2分,则所得分数的数学期望E()=.解析:由题意得的所有可能取值为0,2,其中=0表示取出的球为两个黑球,=2表示取出的球为一黑一红,所以P(=0)=,P(=2)=.所以的分布列
11、为02P故E()=0+2=1.答案:16.已知随机变量和,其中=4-2,且E()=7,若的分布列如表所示,则n的值为.1234Pmn解析:因为=4-2,所以E()=4E()-2,即7=4E()-2,解得E()=.所以1+2m+3n+4.由分布列的性质,可得+m+n+=1.联立,解得n=.答案:7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,则随机变量X的均值E(X)=.解析:由题意得P(X=0)=(1-p)2,解得p=
12、.随机变量X的可能取值为0,1,2,3.X的分布列为P(X=0)=,P(X=1)=+2,P(X=2)=2+,P(X=3)=.因此E(X)=0+1+2+3.答案:8.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3.9.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法
13、如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解:(1)设事件M=“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3”,则P(M)=.(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4.根据古典概型知识,可得P(X
14、=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列为X01234PX的数学期望为E(X)=0+1+2+3+4=2.10.某人有20万元,准备用于投资房地产或购买股票,若根据下面的盈利表进行决策,应选择哪种方案?自然状况概率购买股票盈利/万元投资房地产盈利/万元巨大成功0.3108一般成功0.534失败0.2-10-4解:设购买股票的盈利为X,投资房地产的盈利为Y,则购买股票的盈利均值为E(X)=100.3+30.5+(-10)0.2=3+1.5-2=2.5;投资房地产的盈利均值为E(Y)=80.3+40.5+(-4)0.2=2.4+2-0.8=3.6.因为E(Y)E(X),所以投资房地产的平均盈利较高.故应选择投资房地产.