1、4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列课后训练巩固提升A组1.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于()A.-B.-2C.2D.解析:an为等比数列,a5=a2q3.q3=,q=.答案:D2.若数列1,a,4,b2为等比数列,则a等于()A.-2B.2C.2D.2解析:根据题意,数列1,a,4,b2为等比数列,则有解得a=2.答案:B3.(多选题)已知数列an是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是()A.B.log2C.an+an+1D.an+an+1+an+2解析:由数列an是等比数列,设公比为q.在A中,一定是等比数列,故A正确;在B中,假设an=2n,则lo
2、g2=log222n=2n,不是等比数列,故B错误;在C中,an+an+1=an(1+q),当q=-1时,an+an+1不是等比数列,故C错误;在D中,an+an+1+an+2=an(1+q+q2),an+an+1+an+2是等比数列,故D正确.答案:AD4.在等比数列an中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于()A.2B.3C.D.2解析:在等比数列an中,a1a2=2,a2a4=16,则=q3=,公比q=2.答案:A5.已知1, ,为等比数列,当an=8时,n等于()A.6B.7C.8D.9解析:设等比数列的公比为q,由题可知,a1=1,q=,则an=qn-1=()n-1=8=()
3、7,故n-1=7,n=8.答案:C6.已知等比数列an的各项都是正数,a5=1,a3a11=9,则an的公比q=.解析:由题意可知q0,a5=1,a3a11=9,a9=9=a5q4=q4,解得q=.答案:7.在等比数列an中,an0,a1-a5=90,a2-a4=36,则q=;a5与a7的等比中项是.解析:设等比数列an的公比为q,由已知得可得,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.若q=2,则a1=-6,不合题意,舍去,若q=,则a1=96,故a5=96=6,a7=a5q2=,a5与a7的等比中项为=3.答案:38.若三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则abc
4、= .解析:由题意得2b=a+c,c2=ab,由得c=2b-a.将代入得a=b(舍去)或a=4b,则c=2b-a=2b-4b=-2b.abc=41(-2).答案:41(-2)9.已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解:(1)由题意得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以.故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.10.在各项均为负数的数列an中,已知2an=3an+1,且a2a5=.(1)求证:an是
5、等比数列,并求出其通项;(2)试问:-是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明:因为2an=3an+1,所以.又a10,故数列an是公比q=的等比数列.因为a2a5=,所以a1qa1q4=,即.因为数列各项均为负数,则a1=-.所以an=-=-.(2)解:设an=-,由等比数列的通项公式,得-=-,即.根据指数函数的性质,有4=n-2,即n=6.因此-是这个等比数列的第6项.B组1.已知1,a,b,8是等比数列,则ab的值等于()A.1B.4C.8D.16解析:1,a,b,8是等比数列,ab=8.答案:C2.在公差不为零的等差数列an中,若a2,a3,a6
6、依次成等比数列,则其公比q等于()A.B.C.2D.3解析:设等差数列an的公差为d(d0),a2,a3,a6依次成等比数列,a3是a2与a6的等比中项,=a2a6,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),即d2+2a1d=0.又d0,d=-2a1.a2=a1+d=-a1,a3=a1+2d=-3a1.又a10,q=3.答案:D3.已知一个各项均为正数的等比数列,其任何项都是后面两项的和,则其公比是()A.B.C.D.解析:由已知得an=an+1+an+2,即a1qn-1=a1qn+a1qn+1,q2+q=1,解得q=.q0,q=.答案:D4.在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5
7、=31,a2+a3+a4+a5+a6=62,则通项an等于()A.2n-1B.2nC.2n+1D.2n+2解析:a1(1+q+q2+q3+q4)=31,由a2(1+q+q2+q3+q4)=62,得q=2,代入得a1=1,故an=2n-1.答案:A5.在6和768之间插入6个数,使它们组成共8项的等比数列,则这个等比数列的第6项是.解析:由条件得,768=6q7,解得q=2.故a6=625=192.答案:1926.若数列an的前n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=.解析:当n=1时,S1=a1+,解得a1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),an=-2an-
8、1,即=-2,an是以1为首项的等比数列,其公比为-2,an=1(-2)n-1,即an=(-2)n-1.答案:(-2)n-17.已知a0,b0,若a,2,b依次成等比数列,则a+4b的最小值为.解析:已知a0,b0,若a,2,b依次成等比数列,则ab=4,则a+4b2=4=8,当且仅当 a=4b=4时取等号,故a+4b的最小值为8.答案:88.在数列an中,a1=5,an+1=2an+3(nN*).(1)证明数列an+3为等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:an+1=2an+3,an+1+3=2(an+3).又a1=5,a1+3=8.an+30,=2,数列an+3是首项为8,公比
9、为2的等比数列.(2)解:由(1)知,an+3=82n-1=2n+2,an=2n+2-3.9.已知三个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这三个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.解:由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d.a-d+a+a+d=6,a=2,即三个数分别为2-d,2,2+d.若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0(舍去),此时三个数为-4,2,8.若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数为8,2,-4.若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),解得d=0(舍去).综上可知,这三个数是-4,2,8.