1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系课后训练巩固提升A组1.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析:直线y=kx+1过点(0,1),因为该点在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.答案:C2.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.解析:由题意得1,解得0k0,原点在圆外.圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=,则圆心为(2,-1),半径r=.因为直线x=0不与圆相切,所以可设切线方程为y=kx.由题意得,解得k=-3或k
2、=,故所求切线的方程为y=-3x或y=x.答案:A4.已知直线l:ax+by=1,点P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定解析:P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,a2+b21.圆心(0,0)到直线l:ax+by-1=0的距离d=0,b=r=1,C(a,1).由圆心C到直线4x-3y=0的距离d=r=1,得a=2或a=-(舍去).故圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.答案:A6.设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是 .解析:易知所求直线过圆心,且与直线2x
3、+3y+1=0垂直.由圆的方程,得圆心坐标为(1,0).设所求直线的方程为3x-2y+C=0,则31-20+C=0,解得C=-3.故所求直线的方程为3x-2y-3=0.答案:3x-2y-3=07.在平面直角坐标系中,过点P(2,4)作圆x2+y2-4y=0的切线,则切线方程为.解析:圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,则圆心为(0,2),半径为2.22+(4-2)24,点P在圆外.当切线的斜率不存在时,过点P的直线方程为x=2,与圆相切,符合题意.当切线的斜率存在时,设过点P(2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.由=2,得k=0.切线方程为y=4.因此,所
4、求切线方程为x=2或y=4.答案:x=2或y=48.过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为.解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,可知点(-1,-2)在圆外.直线x=-1与圆相离,直线l的斜率存在,设其为k,则直线l的方程为y+2=k(x+1).已知圆心为(1,1),半径为1,弦长为,则圆心到直线的距离d=,解得k=1或k=.答案:1或9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l的斜率k的取值范围.解:圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心坐标是(1,0),半径是1.直线x=-2与圆相
5、离,当直线l与圆有两个交点时,斜率存在.设直线l的方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,由题意得圆心到直线l的距离1,即k2,解得-k0)与直线x-y+2=0相切.(1)求圆O的方程;(2)过点的直线l截圆所得弦长为2,求直线l的方程.解:(1)直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径r,即=r.r=2.圆O的方程为x2+y2=4.(2)当直线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=1,此时直线l截圆所得弦长为2,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.由直线l截圆所得弦长为2,半径r=2,
6、得圆心到直线l的距离d=1,即=1,解得k=-.故直线l的方程为-x-y+=0,即x+y-2=0.综上,直线l的方程为x+y-2=0或x=1.B组1.过点(2,1)的直线中,被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线的方程是()A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+5=0解析:过点(2,1)的直线中,被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线经过圆心,该直线过点(2,1)和圆心(1,-2).直线方程为,整理得3x-y-5=0.故选A.答案:A2.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(aR)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关
7、系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析:直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1).(-1)2+(-1)2-2(-1)+2(-1)-7=-50).圆心在直线2x+y=0上,b=-2a,即圆心为(a,-2a).又圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),=r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2,即(3a-1)2=2(2-a)2+(-1+2a)2,解得a=1或a=9.a=1,b=-2,r=或a=9,b=-18,r=13.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.8.已知圆C:x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0a4),直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在区间(0,4上变化时,求m的取值范围.解:(1)由已知得,圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0a4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.直线l的方程可化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离d=|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L.由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系,得L=2=2=2.0-a+m,即2am.2a-m=2.m=(-1)2-1.0a4,02.m-1,8-4,即m的取值范围是-1,8-4.