1、2021年新疆慕华优策高考数学第三次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|2x823x，Bx|x24x+30，则AB（）A（1，2）B（2，3）C（，3）D（1，3）2若复数z满足z（1i）2022（2i）2022，则|z|（）A1B22022C21011D210113命题“x1，都有lnx+x10”的否定是（）Ax1，都有lnx+x10Bx01使得lnx0+x010Cx01使得lnx0+x010Dx01使得lnx0+x0104alog，blog，c（），则（）AacbBcabCcbaDabc5勾股定理是一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代
2、由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2，3，4，5，），则弦为（）A2n22n+1B4n2+1C2n2+2nD2n2+2n+16曲线x2+y22x+4y200上的点到直线3x4y+190的最大距离为（）A10B11C12D137在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩z服从正态分布N（a，0.04），若P（z100）0.5，且P（z120）0.2，则p（z8
3、0）（）A0.2B0.3C0.35D0.48底面为正三角形的直棱柱ABCA1B1C1中，AB8，AA16，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为（）ABCD9“喊泉”是一种地下水的声学现象人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌声音越大，涌起的泉涌越高已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为1012/m2）之比的常用对数称作声强m的声强级，记作l（贝尔），即llg取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝已知某处喊泉的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（m）满足关系式y3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为6
4、0m若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（）A40mB45mC50mD55m10将函数f（x）sinx（cosxsinx）+1（0）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得yg（x）的图象，若g（x）在，上单调递减，则的取值范围为（）A02B2CD211已知椭圆T：1（a3）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆T上存在四个点Pi（i1，2，3，4）使得PiF1F2的面积为9，则椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，B（，1）C（，）D（，1）12已知锐角ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAb（sinB+sinC）
5、，则的取值范围为（）A（0，1）B（1，）C（）D1，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知角的顶点为原点，始边为x的正半轴，其终边上一点的坐标为（1，2），则cos2sin2 14已知向量（1，），|2，与夹角为，则+与2的夹角的余弦值为 15学校举行秋季运动会，高二（6）班选出5人参加跳高、跳远、跳绳、100m短跑四个项目比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲不参加跳高比赛的安排方法种数为 16不等式x1aexalnx0对任意x（1，+）恒成立，则正实数a的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题
6、，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，S9144，a3是a1与a8的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足+log2bn0，若cnanbn，求数列cn前n项和为Tn18如图（1），平面四边形ABDC中，ABCD90，ABBC2，CD1，将ABC沿BC边折起如图（2），使_，点M，N分别为AC，AD中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题ADAC为四面体ABDC外接球的直径平面ABC平面BCD（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角AMNB
7、的正弦值19元旦期间某牛奶公司做促销活动一箱某品牌牛奶12盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖已知购买一盒牛奶需要5元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券8元（可即中即用）顾客可以在一箱牛奶中先购买4盒，然后根据这4盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8盒设每盒牛奶中奖概率为p（0p1），且每盒牛奶是否中奖相互独立（1）若p，顾客先购买4盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率（2）设先购买的4盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为p0，以p0为p值某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即40%）便可以购买如下的8盒牛奶，据此，请你判断该顾客是否可以购买余下的8盒牛奶20已知定点
8、O2（2，0），点P为圆O1：（x+2）2+y232（O1为圆心）上一动点，线段O2P的垂直平分线与直线O1P交于点G（1）设点G的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若过点O2且不与x轴重合的直线l与（1）中曲线C交于D，E两点，M为线段DE的中点，直线OM（O为原点）与曲线C交于A，B两点，且满足|MD|2|MA|MB|，若存在这样的直线，求出直线l的方程，若不存在请说明理由21记f（x）（f（x），f（x）为f（x）的导函数若对xD，f（x）0，则称函数yf（x）为D上的“凸函数”已知函数f（x）exx3ax21，aR（1）若函数f（x）为R上的凸函数，求a的取值范围；（2）若函数yf（
9、x）x在（1，+）上有极值点，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑4-4坐标系与参数方程22已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为（1）若曲线C为双曲线，求实数m的取值范围；（2）以极点为原点，极轴为x正半轴建立直角坐标系当m1时，过点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若|4，求直线l的倾斜角4-5不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|ax3|（1）当a2时，若f（x）2m2m1对xR恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）3x3在x1，2上有解，求实数
10、a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|2x823x，Bx|x24x+30，则AB（）A（1，2）B（2，3）C（，3）D（1，3）解：2x823x，x2，A（，2），x24x+30，1x3，B（1，3），AB（，3）故选：C2若复数z满足z（1i）2022（2i）2022，则|z|（）A1B22022C21011D21011解：z（1i）2022（2i）2022，z（1+i）2022，|z|21011，故选：C3命题“x1，都有lnx+x10”的否定是（）Ax1，都有lnx+x10Bx01使得lnx
11、0+x010Cx01使得lnx0+x010Dx01使得lnx0+x010解：命题为全称命题，则命题的否定为：x01，使得lnx0+x010，故选：D4alog，blog，c（），则（）AacbBcabCcbaDabc解：alog23，1log22log23log242，1a2，bloglog25log242，b2，c（）1，bac，故选：B5勾股定理是一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为
12、1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2，3，4，5，），则弦为（）A2n22n+1B4n2+1C2n2+2nD2n2+2n+1解：设斜边（弦）为x，则股为x1，x2（2n+1）2+（x1）2，解答x2n2+2n+1，故选：D6曲线x2+y22x+4y200上的点到直线3x4y+190的最大距离为（）A10B11C12D13解：由题意，x2+y22x+4y200的圆心（1，2）半径5，圆心到直线的距离d6，圆x2+y22x+4y200上的点到直线l的最大距离是5+611，故选：B7在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩z服从正态分
13、布N（a，0.04），若P（z100）0.5，且P（z120）0.2，则p（z80）（）A0.2B0.3C0.35D0.4解：由已知得：a100，由正态分布的性质有：P（z120）P（z80）0.2故选：A8底面为正三角形的直棱柱ABCA1B1C1中，AB8，AA16，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为（）ABCD解：如图，|2，（）（）（）（）+36+28，异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为：故选：C9“喊泉”是一种地下水的声学现象人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌声音越大，涌起的泉涌越高已知听
14、到的声强m与标准声调m0（m0约为1012/m2）之比的常用对数称作声强m的声强级，记作l（贝尔），即llg取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝已知某处喊泉的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（m）满足关系式y3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为60m若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（）A40mB45mC50mD55m解：由题意可知y15lg3x，x5lg，又x甲60，12，而乙的声强为甲的，x乙5lg60555m，故选：D10将函数f（x）sinx（cosxsinx）+1（0）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍
15、得yg（x）的图象，若g（x）在，上单调递减，则的取值范围为（）A02B2CD2解：由题意知f（x）sinxcoxsin2x+1，令，则，g（x）在，上单调递减， kZ，且0，当k0时，当k1时，不成立，舍，故选：C11已知椭圆T：1（a3）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆T上存在四个点Pi（i1，2，3，4）使得PiF1F2的面积为9，则椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，B（，1）C（，）D（，1）解：当c为定值时，P为椭圆短轴的端点时，三角形PF1F2的面积最大，b3，即c3此时仅有两个P使得，椭圆的离心率为，当c越大时，以原点为圆心，以c为半径的圆必与椭圆相交，且有四个交点满足题意
16、，此时椭圆越扁，离心率越大，e1，故选：B12已知锐角ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAb（sinB+sinC），则的取值范围为（）A（0，1）B（1，）C（）D1，解：因为asinAb（sinB+sinC），由正弦定理可得a2b2+bc，显然ab，AB，可得cosA0，由cosA，可得2bcosAcb，可得2sinBcosAsinCsinBsin（A+B）sinB，所以sin（AB）sinB，由A，B，C为锐角，所以ABB，A2B，CAB3B，所以02B，03B，可得B，可得cosB（，），所以2cosB（，）故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1
17、3已知角的顶点为原点，始边为x的正半轴，其终边上一点的坐标为（1，2），则cos2sin21解：依题意有，cos，cos2sin221，故答案为：114已知向量（1，），|2，与夹角为，则+与2的夹角的余弦值为解：根据题意，设+与2的夹角为，向量（1，），则|2，又由|2，与夹角为，则22cos2，则|+|22+2+24+4+412，则有|+|2，|2|2424+2168+412，则有|2|2，（+）（2）22+28+246，故cos；故答案为：15学校举行秋季运动会，高二（6）班选出5人参加跳高、跳远、跳绳、100m短跑四个项目比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲
18、不参加跳高比赛的安排方法种数为180解：根据题意，分2步进行分析：将5人分为4组，有C5210种分组方法，甲所在的组不参加跳高，有3种选择，剩下3组有A336种选择，4组分别参加4项比赛有3618种情况，则有1018180种安排方法，故答案为：18016不等式x1aexalnx0对任意x（1，+）恒成立，则正实数a的取值范围为（0，e解：不等式x1aexalnx0对任意x（1，+）恒成立，即不等式xexxalnxa0对任意x（1，+）恒成立，令f（x）xex，f（x）ex（1+x）0在（1，+）恒成立，所以f（x）在（1，+）上单调递增，则f（x）f（lnxa）等价于xlnxaalnx，又因为
19、x0，lnx0，alnx0，所以a对任意x（1，+）恒成立，令g（x），则g（x），令g（x）0，可得xe，令g（x）0，可得1xe，所以g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，所以g（x）ming（e）e，所以ae，所以正实数a的取值范围为（0，e故答案为：（0，e三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，S9144，a3是a1与a8的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足+log2b
20、n0，若cnanbn，求数列cn前n项和为Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，d0，由S9144，可得9a1+d144，即为a1+4d16，由a3是a1与a8的等比中项，可得a32a1a8，即为（a1+2d）2a1（a1+7d），即4a13d，解得a14，d3，所以an4+3（n1）3n+1；（2）+log2bn0，即为n+log2bn0，解得bn（）n，所以cnanbn（3n+1）（）n，则Tn4+7（）2+11（）3+.+（3n+1）（）n，Tn4（）2+7（）3+11（）4+.+（3n+1）（）n+1，两式相减可得Tn2+3（）2+（）3+.+（）n（3n+1）（）n+12+3（3n
21、+1）（）n+1，化简可得Tn7（3n+7）（）n18如图（1），平面四边形ABDC中，ABCD90，ABBC2，CD1，将ABC沿BC边折起如图（2），使_，点M，N分别为AC，AD中点在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题ADAC为四面体ABDC外接球的直径平面ABC平面BCD（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角AMNB的正弦值解：（1）选，AD，在RtBCD中，BC2，CD1，则BD，又AB2，AB2+BD2AD2，则ABBD，又ABBC，BCBDB，AB平面CBD，ABCD，又CDBD，CD平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，M
22、N平面ABD；选，AC为四面体ABDC外接球的直径，则ADC90，CDAD，又CDBD，ADBDD，CD平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，MN平面ABD；选，平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，又ABBC，AB平面CBD，则ABCD，又CDBD，ABBDB，CD平面ABD，M、N分别为AC、AD的中点，MNCD，MN平面ABD；（2）由（1）知，MN平面ABD，则MNAN，MNBN，ANB为二面角AMNB的平面角，ABD为直角三角形，且AD，BD，cosDAB，在ABN中，AN，BN，cosANB故二面角AMNB的正弦值为19元旦期间某牛奶公司做促销活动一箱某品
23、牌牛奶12盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖已知购买一盒牛奶需要5元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券8元（可即中即用）顾客可以在一箱牛奶中先购买4盒，然后根据这4盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8盒设每盒牛奶中奖概率为p（0p1），且每盒牛奶是否中奖相互独立（1）若p，顾客先购买4盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率（2）设先购买的4盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为p0，以p0为p值某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即40%）便可以购买如下的8盒牛奶，据此，请你判断该顾客是否可以购买余下的8盒牛奶解：（1）依题意购买4盒至少有一盒中奖的概率为P1（2）4盒
24、牛奶恰有1盒中奖的概率为p（1p）34p（1p）3，则f（p）4（1p）33p（1p）24（1p）2（14p），当p（0，）时，f（p）0，f（p）单调递增，当p（，1）时，f（p）0，f（p）单调递减，所以当p时，f（p）有最大值p04（1），设余下8盒牛奶中奖为y盒，中奖后实际付款为x元，yB（8，），E（y），x588y408y，E（x）E（408y）408E（y）134040%16，该顾客可以买下余下的8盒牛奶20已知定点O2（2，0），点P为圆O1：（x+2）2+y232（O1为圆心）上一动点，线段O2P的垂直平分线与直线O1P交于点G（1）设点G的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2
25、）若过点O2且不与x轴重合的直线l与（1）中曲线C交于D，E两点，M为线段DE的中点，直线OM（O为原点）与曲线C交于A，B两点，且满足|MD|2|MA|MB|，若存在这样的直线，求出直线l的方程，若不存在请说明理由解：（1）根据题意，作出简图如下：结合中垂线的性质，和圆的基本性质可得：|GO2|+|GO1|GO1|+|GP|O1P|，即得点G到点O1（2，0），O2（2，0）的距离之和为定长，又因为|O1O2|4，所以可得点G的轨迹是以点点O1（2，0），O2（2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即得a，c2b2，故有曲线C的方程为：（2）根据题意，作出简图如下：假设存在直线l满足题意，则由图可
26、得，|MD|2|MA|MB|（|AO|+|OM|）（|BO|OM|）|AO|2|OM|2，（*）且由题可知直线l的斜率一定不为0，故可设直线l的方程为xmy+2设点D（x1，y1），E（x2，y2），联立椭圆方程组成方程组可得，化简可得，（m2+2）y2+4my40，|MD|DE|，又，可得点M（），则，|OM|，所以直线AB的方程即为：，设点A（x0，y0），B（x0，y0），联立椭圆方程可得，化简可得，|AB|，|AO|，代入（*）式可得，化简可得m22，或m21（舍去），m，故所求直线l的方程为x+y20，或xy2021记f（x）（f（x），f（x）为f（x）的导函数若对xD，f（x）0
27、，则称函数yf（x）为D上的“凸函数”已知函数f（x）exx3ax21，aR（1）若函数f（x）为R上的凸函数，求a的取值范围；（2）若函数yf（x）x在（1，+）上有极值点，求a的取值范围解：（1）f（x）exx22ax，若函数f（x）为R上的凸函数，f（x）ex2x2a0，即2aex2x，令yex2x，yex2，当xln2时，y0，当x（，ln2）时，y单调递减，x（ln2，+）时，y单调递增，y的最小值是22ln2，即2a22ln2，解得：a1ln2，故a的取值范围是（，1ln2）（2）由题意知yf（x）xexx3ax2x1，则yexx22ax1，由题意得yexx22ax1在（1，+）有
28、零点，即g（x）2a在（1，+）有解，g（x），令h（x）（x1）exx2+1，h（x）x（ex2），x1，h（x）0，故h（x）在（1，+）上单调递增，h（1）0，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增，且x+，g（x）+，g（x）（g（1），+），即2a（e2，+），故a的取值范围是（，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑4-4坐标系与参数方程22已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为（1）若曲线C为双曲线，求实数m的取值范围；（2）以极点为原点，极轴为x正半轴建立直
29、角坐标系当m1时，过点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若|4，求直线l的倾斜角解：（1）C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为mx2+（m+3）y24，若该曲线为双曲线，故m（m+3）0，解得3m0，故m的取值范围为（3，0）（2）当m1时，由（1）得：，设直线l的倾斜角为，故方程为（t为参数），代入，得到（2sin2cos2）t2+4sint20，利用16sin2+8（2sin2cos2）0，解得4sin2cos2，所以，由于点P（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点，所以P、A、B三点共线，所以，解得或（舍去），故，故4-5不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|ax3|（1）当a2时，若f（x）2m2m1对xR恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）3x3在x1，2上有解，求实数a的取值范围解：（1）当a2时，f（x）|2x1|2x3|，因为|2x1|2x3|2x12x+3|2，所以2|2x1|2x3|2，由题意可得2m2m12，解得m或m1，即m的取值范围是（，1，+）；（2）f（x）3x3，即|2x1|ax3|3x3在x1，2上有解，即|ax3|2x在x1，2上有解所以x2ax32x，则1+a1在x1，2上有解所以（1+）mina（1）max，所以a4，故a的取值范围是，4
