1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x-y-1=0的倾斜角=()A.30B.60C.120D.150解析:直线x-y-1=0的斜率k=,tan =.又0180,=30.答案:A2.已知直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有()A.a=2,b=5B.a=2,b=-5C.a=-2,b=5D.a=-2,b=-5解析:由5x-2y-10=0,得=1.由直线的截距式,得a=2,b=-5.答案:B3.已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1
2、=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2解析:圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,即=1,解得a=-.答案:A4.已知直线l:y=k(x+),圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=()A.0B.C.或0D.或0解析:直线l与圆C相切,圆心C(0,1)到直线l的距离d=r=1,即=1,解得k=0或k=.答案:D5.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),则线段MN的中点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+(y-2)2=5B.+y2=C.+y2=D.(x
3、-2)2+(y+1)2=5解析:A,B是圆C的直径的两个端点,圆心C(1,2),半径r=.圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.设P(x,y),M(x0,y0).线段MN的中点为P,点M在圆C上运动,(2x-5)2+(2y)2=5,即+y2=.故线段MN的中点P的轨迹方程为+y2=.答案:B6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为()A.(x-2)2+y2=50B.(x+2)2+y2=10C.(x+2)2+y2=50D.(x-2)2+y2=10解析:由A,B两点坐标,可得线段AB的垂直平分线方程为2x-y-4=0.因为圆心C在线段AB的垂直平分线上,
4、且C在x轴上,所以圆心坐标为C(2,0),半径r=|CB|=,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案:D7.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解析:设圆C2的圆心C2(x,y),则C2与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,从而解得即C2(2,-2).圆C2的半径等于圆C1的半径,即为1.故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案:B8.过点(,0)引直线l
5、与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.B.-C.D.-解析:根据题意,画出大致图象,如图所示.若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率-1k0.设l:y=k(x-),则圆心O到直线l的距离d=,从而|AB|=2.SAOB=|AB|d=2d=,当且仅当d2=时,SAOB取得最大值.由d2=,即k2=,得k=-.故选B.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是()A.
6、方程表示的是圆B.当a0时,方程表示的圆过原点C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称D.方程表示的圆的圆心在x轴上解析:将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.当a0时,方程表示圆,而且圆心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确.答案:BC10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是()A.-2B.-1C.3D.4解析:如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),斜率为-a.kAC=-,kBC=.由于当-
7、a或-a-,即a-或a时,直线与线段AB有交点,故A,C,D符合,B不符合.答案:ACD11.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦所在的直线为l1,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么()A.l1l2B.l1l2C.l2与圆O相离D.l2与圆O相交解析:由题意得a2+b20).由题意知圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d=r.圆C过点A(4,1),B(2,1),(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2.由,得a=3,b=0,r=,圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2四、解答题:本题
8、共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l经过直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.解:(1)由得两条直线的交点坐标为(1,6).因为直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率k=-2.故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)由(1)知,直线l的方程为2x+y-8=0.由点P(a,1)到直线l的距离等于,得,解得a=1或a=6.18.(12分)已知圆心为(3,4)的圆N被直线x=1截得的弦长为2
9、.(1)求圆N的方程;(2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,求以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程.解:(1)圆心N到直线x=1的距离为2,且圆N被直线x=1截得的弦长为2,圆N的半径r=3,圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9.(2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,点C的坐标为(-5,-2).由(1)知,圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9,圆心N(3,4),半径为3.圆心距|NC|=10.圆C与圆N外切,圆C的半径为10-3=7.以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=49.19.(12分)在ABC中,边BC上的高所在直线的方程为x
10、-2y+1=0,A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.解:如图,由解得点A的坐标为(-1,0).由于直线y=0为A的平分线,故kAC=-kAB=-=-1.于是,边AC所在直线的方程为x+y+1=0.由于边BC上的高所在直线的斜率为,故kBC=-2.于是边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.由即点C的坐标为(5,-6).20.(12分)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a0)截得的弦长为2.(1)求a的值;(2)求过点(3,5),且与圆C相切的切线方程.解:(1)由已知得圆心C(a,2),半径r
11、=2.圆心C到直线l的距离d=.由勾股定理,得d2+=r2,代入后解得a=1或a=-3.因为a0,所以a=1.(2)由(1)知,圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心C(1,2),半径r=2,点(3,5)在圆C外.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.由圆心到切线的距离d=2,得k=.所以,切线方程为5x-12y+45=0.当过点(3,5)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,与圆C相切,符合题意.综上所述,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x=3.21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l
12、3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.解:因为圆心在直线l1上,所以设圆心坐标为C(a,a-1),半径为r.点C到直线l2的距离d1=.点C到直线l3的距离d2=.由题意得解得a=2,r=5.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,圆O过点M(1,).(1)求圆O的方程;(2)若直线l1:y=mx-8与圆O相切,求m的值;(3)过点(0,3)的直线l2与圆O交于A,B两点,点P在圆O上,若四边形OAPB是菱形,求直线l2的方程.解:(1)圆O的半径r=2.故圆O的方程为x2+y2=4.(2)若直线l1与圆O相切,则圆心O到直线l1的距离=2,解得m=.(3)由圆O的方程,得点(0,3)在圆O外.由题意知,直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y=kx+3.四边形OAPB为菱形,对角线OP与AB互相垂直平分,故圆心O到直线l2的距离应为|OP|=1,即=1,解得k=2,所以,直线l2的方程为y=2x+3或y=-2x+3.