1、7.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均
2、数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间
3、D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二教材改编2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另
4、一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题组三易错自纠4“x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析当x0时，x22.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.5设x0，则函数yx的最小值为()A0 B.C1 D.答案A解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立函数的最小值为0.故选A.6若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是()A2 B3C4 D5答案D解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当
5、，即y2x时，“”成立，故4x3y的最小值为5.故选D.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0x1)的最小值为_答案22解析y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立命题点2通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017河北衡水中学调研)若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6C4 D2答案C解析由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正
6、”“二定”“三相等”(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练 (1)若对任意x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析因为函数f(x)x1在1，)上是增加的，所以函数g(x)x12在0，)上是增加的，所以函数g(x)在1，)上的最小值为g(1)，因此对任意x1，不等式x1a恒成立，所以ag(x)min，故实数a的取值范围是.(2)已知正数x，y满足x2y3，则的最小值为_
7、答案解析2，当且仅当，即xy时等号成立，所以的最小值为.题型二基本不等式的实际应用典例 (2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得当0x80时，L(
8、x)1 000x0.05250x240x250；当x80时，L(x)1 000x0.052501 200.L(x)(2)当0xb0，有|f(a)|f(b)|，则(i是虚数单位)的取值范围为()A(1，) B1，)C(2，) D2，)答案C解析因为f(x)lg x，由|f(a)|f(b)|，可得a1b0，所以lg alg b，得ab1，所以aba2，故选C.(2)已知圆C1：(x2a)2y24和圆C2：x2(yb)21只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为()A2 B4 C8 D9答案D解析由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x2a)2y24，x2(yb)21，圆心分别为(2a
9、,0)，(0，b)，半径分别为2和1，故有1，4a2b21，(4a2b2)5549，当且仅当时，等号成立，的最小值为9.命题点2求参数值或取值范围典例 (1)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24答案B解析由，得m(a3b)6.又62612，m12，m的最大值为12.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案解析对任意xN，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.设g(x)x，xN，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范围是.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是
10、否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Ccos B2sin Asin B，c3ab，则ab的最小值为_答案解析在ABC中，由ABC，可知sin Asin(BC)sin(BC)，2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，化简得2sin Bcos Csin B，sin B0，cos C，c3
11、ab，由余弦定理得c2a2b22abcos C，即9a2b2a2b2ab3ab，当且仅当ab时等号成立ab，则ab的最小值为.(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，且m，n为正数，则的最小值为_答案4解析函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A，A(1,1)，点A在直线mxny10上(m，n0)，mn1(m，n0)，(mn)2224，当且仅当mn时取等号，的最小值为4.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0，y0，12，2，xy24，xy的最小值为4.(2)2x
12、2，y12x12.函数y12x(x0，y0，xy(xy)332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)min32.(2)x0，y12x1(2x)12 12，当且仅当x时取等号，故函数y12x(xb0”是“abb0，可知a2b22ab，充分性成立，由ablg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，当且仅当x时，等号成立，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项
13、D不正确3(2018青岛质检)已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析依题意，得(ab)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.4(2017安庆二模)已知a0，b0，ab，则的最小值为()A4 B2 C8 D16答案B解析由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立故选B.5若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4答案C解析由知，a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.6(2018平顶山一模)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()AaBaCa0，a恒成立，所以对任意x(0
14、，)，amax，而对任意x(0，)，当且仅当x，即x1时等号成立，a.7已知2a4b2(a，bR)，则a2b的最大值为_答案0解析2a4b2a22b22，2a2b120，a2b0，当a2b时等号成立，所以a2b的最大值为0.8(2017襄阳一调)已知x1，y0且满足x2y1，则的最小值为_答案解析x1，y0且满足x2y1，x10，且(x1)2y2，(x1)2y2，当且仅当即时取等号，故的最小值为.9已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，
15、即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知，4x24y212.10(2017成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元答案220解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，k15，k220，运费与仓储费之和为万元，5x220，当
16、且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.12某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两
17、组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2.(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？解(1)因为t1，t2，所以f(x)t1t2，定义域为x|1x99，xN(2)f(x)10x(100x)10，因为1x99，xN，所以0，0，所以26，当且仅当，即当x75时取等号即当x75时，f(x)取得最小值13(2017广东清远一中一模)若正数a，b满足1，则的最小值为()A16 B9 C6 D1答案C解析正数a，b满足1，abab，10，10，b1，a1，
18、则226(当且仅当a，b4时等号成立)，的最小值为6，故选C.14(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1恒过定点A(2，1)，由A在直线mxny10上，可得2mn10，即2mn1.4248(当且仅当，即m，n时等号成立)15设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值是()A0 B1 C. D3答案B解析1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.16若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_答案27解析因为ab4ab10，所以b.又a1，所以b0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b16a816(a1)15.因为a10，所以6(a1)1521527，当且仅当6(a1)(a1)，即a2时等号成立，故(a1)(b2)的最小值为27.