1、第20课时本章复习 教学过程一、 知识梳理1. 初等基本函数2. 函数的应用提醒:要充分注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法解题.二、 数学应用(一) 指数、对数的运算【例1】化简下列各式:(1) (a0, b0);(2) lg5(lg8+lg1000)+lg+lg0.06.(见学生用书课堂本P72)规范板书解(1) 原式=a.(2) 原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1.题后反思在指数运算过程中,注意运算顺序,并能灵活运用乘法公式;正确使用分数指数幂、对数的运算
2、法则是解决指数式运算和对数式运算的正确保障.变式计算:(1) log2.56.25+lg0.001+ln+;(2) -(2009)0-+.规范板书解(1) 原式=2+(-3)+3=1.(2) 原式=-1-+=.(二) 对数函数与二次函数的复合问题【例2】求函数f(x)=-2x2+5在2, 4上的最大值和最小值.(见学生用书课堂本P72)处理建议先换元,再转化为二次函数在给定区间上的值域问题.规范板书解设t=lox, x2, 4, t,则f(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1. 当t=-1时,f(t)max=10;当t=-时,f(t)min=.题后反思求形如y=f(logax)的函数的值域时
3、,常采用换元法,令t=logax,根据定义域先求出t=logax的值域,再求y=f(t)的值域.求形如y=logaf(x)的函数的值域时,一般先结合真数f(x)0求出定义域,然后根据定义域求出y=f(x)的值域,再根据a的取值确定y=logaf(x)的值域.变式求函数y=log4(3x+1)+log2(x+1), x0, 1的值域.处理建议紧紧扣住对数函数的单调性处理与对数函数有关的值域问题.规范板书解y=log4(3x+1)+log2(x+1)=log4(3x+1)+log4(x+1)=log4(3x2+4x+1). t=3x2+4x+1=3-在0, 1上单调递增, t1, 8.又 y=lo
4、g4t是单调增函数, y=log4(3x2+4x+1)在x0, 1上单调递增. ylog41, log48,即函数的值域为0, .(三) 三个“二次”的运用【例3】已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1, 3).(1) 若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求函数f(x)的解析式;(2) 若函数f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.(见学生用书课堂本P72)处理建议注意二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系.规范板书解由题可知不等式f(x)+2x0的解集为(1, 3),故可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, f(x)=a
5、(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.(1) 若f(x)+6a=0有两个相等的实根,则方程ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实根, =-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-. a0, a=-, f(x)=-x2-x-.(2) f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=-,且a0, f(x)max=-.由题意可得解得a-2-或-2+a0.当函数f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围为a-2-或-2+a0)的两个零点,函数f(x)的最小值为-a,记P=x|f(x)0, xR.(1) 试探求x1, x2之间的等量关系(不含a, b
6、).(2) 当且仅当a在什么范围内时,函数g(x)=f(x)+2x(xP)存在最小值?(3) 若x1(-2, 2),试确定实数b的取值范围.规范板书解(1) 由题意得=-a,得b2-4a=4a2, x1, 2=, |x1-x2|=2.(2) 由f(x)0,得x.g(x)=ax2+(b+2)x+1,其对称轴为x=-,若函数g(x)存在最小值,则-1.(3) x1(-2, 2), -22或-22, -13或-31,从而有-33, |b|6a, b236a2. b2=4a+4a2, 4a+4a2, b2=4a+4a24=, 实数b的取值范围为.(四) 函数的应用问题*【例4】某工厂拟建一座平面图为矩
7、形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16m,假设池外周壁建造单价为400元/m,中间两条隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(例4)(1) 试写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)之间的函数关系式,并指出其定义域;(2) 污水处理池的长和宽应为多少时,总造价最低?并求出最低总造价.处理建议先分池外周壁造价、中间两条隔墙造价、池底建造造价三部分,然后再加在一起.规范板书解(1) 设污水处理池长为xm,由题意可得y=400+2482+80200,即y=800+16000. 0x16且00时,f(x)在区间(-, -和, +)上是单调增函数,在区间-, 0)和(0, 上是单调减函数; 当aab.提示10.30.5, log0.30.2log0.30.3=1, cab.3. 函数y=的值域为(-, 0)1, +).提示由y=3x(x0)可得y1,由y=-x2+2x(x0)可得y0,故所求函数的值域为(-, 0)1, +).四、 课堂小结本章研究了几类特殊的函数(指数函数、对数函数、幂函数)的图象、性质及其应用,主要通过数形结合的方法来研究函数的性质,在利用函数的图象探索函数性质的同时,利用函数的性质又可以作出函数的图象.运用函数解决实际应用问题的关键是建立合适的数学模型.