1、第2课时基本不等式的实际应用课后训练巩固提升一、A组1.当x0时,y=+4x的最大值为()A.-4B.-8C.-8D.-16解析:x0,y=-2=-8.答案:C2.(多选题)若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b22abB.a+b2C.D.2解析:对于A,a2+b22ab对a,bR恒成立,故A正确.对于B,C,虽然ab0,但a,b可同时小于0,故B,C错误.对于D,ab0,0,0,2,当且仅当,即a=b时,等号成立,故D正确.答案:AD3.当a0时,关于代数式,下列说法正确的是()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最小值也有最大值D.无最小值也无最大值解析
2、:a0,=1,当且仅当a=,即a=1时,取等号,故当a0时,代数式有最大值1,没有最小值.答案:A4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(xN*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为()A.3B.4C.5D.6解析:由题意可知,=-+12-2+12,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.答案:C5.若对x0,y0,有(x+2y)m恒成立,则m的取值范围是()A.m8B.m8C.m0,y0,(x+2y)=2+24+2=8,当且仅当时,等号成立,m8.答
3、案:A6.y=x+(x1)的最小值是,此时x=.解析:x1,x-10,y=x+=x-1+12+1=2+1,当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立.答案:2+1+17.已知a0,b0,=2,则a+2b的最小值为.解析:a0,b0,=2,a+2b=(a+2b)5+(5+4)=,当且仅当,且=2,即a=b=时,取等号,a+2b的最小值为.答案:8.在4+9=60的两个中,分别填入两个自然数,若使它们的倒数和最小,则应分别填上和.解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,13+(13+12)=,当且仅当,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.答案:649.(1)求y
4、=+4x的最小值;(2)求y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值;(3)已知x0,y0,且=1,求x+y的最小值.解:(1)x,4x-50,y=+4x=+(4x-5)+57,当且仅当4x-5=,即x=时,取等号.y的最小值为7.(2)x0,a2x,y=x(a-2x)=2x(a-2x),当且仅当x=时,取等号,y的最大值为.(3)(方法一)=1,x+y=(x+y)=10+.x0,y0,2=6.当且仅当,即y=3x时,取等号.又=1,x=4,y=12.即当x=4,y=12时,x+y取最小值16.(方法二)由=1,得x=.x0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10
5、.y9,y-90,y-9+102+10=16,当且仅当y-9=,即y=12时,取等号.又=1,x=4.即当x=4,y=12时,x+y取最小值16.10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4 000,
6、得a=.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)+160=80+4 160(x1).(2)80+4 160802+4 160=1 600+4 160=5 760.当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.故要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.二、B组1.(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则()A.有最小值4B.有最大值C.有最大值D.a2+b2有最小值解析:因为正实数a,b满足a+b=1,所以a+b2,可得0ab,当且仅当a=b时,取等号.则4,即有最小值4.由00,x+y=
7、1,若4xy1B.t1C.t2解析:由基本不等式,得4xy4=1,当且仅当x=y=时,等号成立,即4xy的最大值为1,则t1.因此实数t的取值范围是t1.答案:A3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6解析:由x+3y=5xy,得=1,即3x+4y=(3x+4y)+2=5,当且仅当x=1,y=时,取等号.故3x+4y的最小值是5.答案:C4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12解析:x2+2xy-3=0,且x,y为正数,y=,2x+y=2x+2=3.当且仅当,即x=1时,取等号.答案:B5.函数y
8、=(x-1)的图象的最低点坐标是.解析:由题意得,y=(x+1)+2,当且仅当x=0,y=2时,取等号,即函数图象的最低点坐标为(0,2).答案:(0,2)6.设a1,b0,若a+b=2,则的最小值为.解析:由a1,b0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-10,b0,则(a-1)+b=3+3+2=3+2,当且仅当,且a+b=2,即a=3-,b=-1时,等号成立,取得最小值3+2.答案:3+27.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.解:由题意,得x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=()2,即()2=18.因为a+b=10,所以a=2,b
9、=8或a=8,b=2.8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?解:(1)由题意可得,1万件产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件产品的销售价为150%+50%,即年销售收入为Q=(32Q+3)+x.即年利润W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x0).(2)令x+1=t(t1),则W=50-.因为t1,所以2=8,即W42,当且仅当,即t=8时,等号成立,W有最大值42,此时x=7.故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.