1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课后训练巩固提升A组1.已知ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得=(4,-5,0),=(0,4,-3).设边AC上的高为BD.|=4,|=,所以边AC上的高BD=5.答案:C2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.B.C.D.解析:分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),
2、C(0,0,1),所以=(1,0,0).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则点P到平面ABC的距离d=.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为()A.aB.aC.aD.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,连接A1B.A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),=(0,a,-a),=(-a,0,a).取a=(0,a,-a),u=.点A1到BC1的距离为a.答案:A4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B
3、.C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0),所以=(-1,0,1),=(0,1,-1),.因为,且直线AD1与MN不重合,所以MNAD1.又MN平面ACD1,所以MN平面ACD1.所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离.设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0.可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.连接AM,因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.所以直线MN与平面ACD1间的距离为.答案:D5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则
4、点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC中点,则M,所以.因为AD1=CD1,所以MD1AC.所以MD1的长即为点D1到AC的距离.而|=,所以点D1到AC的距离为.答案:6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为.解析:分别以向量为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立如图所示的空间直角坐标系,连接DF,则D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),=(1
5、,-1,-1),=(1,1,0).取a=(1,1,0),u=,则a2=2,au=0.点D到直线GF的距离为.答案:7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz,则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1),所以=,=(1,1,0).可求得平面EFD1B1的一个法向量为n=.又=(0,0,1),所以点D到平面EFD1B1的距离d=.答案:8.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.解法
6、一:如图,作AHBD,垂足为H,连接PH.PA平面ABCD,且BD平面ABCD,PABD.又PAAH=A,BD平面PAH.PH平面PAH,PHBD.PH即为点P到BD的距离.在RtABD中,可得AH=.在RtPAH中,由勾股定理得PH=.点P到直线BD的距离为.解法二:分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),=(3,0,-1),=(-3,4,0).取a=(3,0,-1),u=,则a2=10,au=-.点P到直线BD的距离为.9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2
7、,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1EA1D.(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0).(1)证明:设E(1,y,0)(0y2),则=(1,y,-1),=(-1,0,-1).由于=0,故D1EA1D.(2)建系后,知A(1,0,0),C(0,2,0),则=(-1,2,0),=(1,0,-1).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则所以可取n=(2,1,2).当E为AB的中点时,E(1,1,0),则=(0,1,0),所以点E到平面ACD1的距离为.B组1.已知正方体AB
8、CD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.解析:以向量为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立空间直角坐标系Bxyz(图略),则=(2,0,0),=(1,0,2).取a=(2,0,0),u=,则a2=4,au=.所以点A到直线BE的距离为.答案:B2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且DAB=60的菱形,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,E是O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为()A.2B.1C.D.3解析:由题意知OO1平面ABCD,所以OO1OA,OO1OB.又OAOB,所以
9、可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为底面ABCD是边长为4,DAB=60的菱形,所以OA=2,OB=2.则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3),所以=(0,2,-3),=(-2,0,-3).设平面O1BC的法向量为n=(x,y,z),则n,n,所以所以所以可取n=(-,3,2). 因为E是O1A的中点,所以E.所以.所以点E到平面O1BC的距离为.答案:C3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()A.B.C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A1(0,-1,0),B(0,1,1),
10、C(,0,1),A(0,-1,1),所以=(0,0,1),=(0,2,1),=(,1,1).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0,可得n=为平面A1BC的一个法向量.所以点A到平面A1BC的距离为.答案:B4.已知在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将BCE沿BE折起成BC1E,而且使BC1E的高C1F平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(6,0,0),C1(4,2,2),D(0,4,0),于是=(-6,0,0),=(-2,2,2).向量的单位向量u=(-1,0,0),取a=
11、(-2,2,2).所以点C1到AB的距离为=2.答案:25.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),D1(0,0,0),N,=(1,1,0),.E,F,M,N分别是所在棱的中点,易证平面A1EF平面B1NMD1,平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为点A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z).由n=0,n=0,得平面B1NMD1的一个法向量n=(2,-2,1).又=(0,1,0),点A1到平面B1NMD1的
12、距离为.答案:6.如图,已知正三角形ABC的边长为4,E,F分别为BC和AC的中点,PA平面ABC,且PA=2,设平面过PF且与AE平行,求AE与平面的距离.解:设的单位向量分别为e1,e2,e3,则e1,e2,e3可构成空间的一个基底,且e1e2=e2e3=e3e1=0.由已知得=2e1,=2e2,=2e3,)=-2e1+e2+e3.设n=xe1+ye2+e3是平面的一个法向量,则n,n.所以即解得所以n=e1+e3.因为AE,所以直线AE到平面的距离即为点A到平面的距离.所以直线AE到平面的距离为.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC
13、=90,PA=AD=2,AB=BC=1,请问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.解:直线PA上存在点M满足题意.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以=(1,1,-2),=(0,2,-2).设M(0,0,z0)(0z02),又设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则所以取z=1,则x=1,y=1.所以,n=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.又因为=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=(2-z0).令d=,可得z0=1.所以存在点M,且M(0,0,1)是线段AP的中点.综上可知,线段AP的中点到平面PCD的距离为.