1、第八讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1(2022湖北武汉部分学校质检)过抛物线E：y22x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|(C)A2BC3D4解析设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，故|AB|x1x2p213，故选C.2已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为(B)AB或CD解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21，得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k20)，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且4，则直线l的倾
2、斜角为(C)ABCD解析如图，过A，B作AA，BB垂直准线x，垂足为A，B，过B作AA垂线，垂足为C，由抛物线定义知|BF|BB|，|AF|AA|，3|BF|AF|，2|BF|AC|，所以cosBAC，BAC，所以直线l倾斜角为，故选C.6(2018课标卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|(B)AB3C2D4解析由双曲线C：y21可知其渐近线方程为yx，MOx30，MON60，不妨设OMN90，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|b1，又知|OF|c2，|OM|，则在RtOMN中，|MN|O
3、M|tanMON3.故选B.7(2021河南天一大联考)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与圆C：x2(y)23交于M，N两点，若|MN|，则MNF的面积为(B)ABCD解析作出图形如下图所示，由题意知|AM|2.因为点N为圆C圆周上一点，所以ANM90，则在RtANM中，由|AM|2，|MN|，得|AN|，AMN45，所以N(，)代入y22px中，解得p，故MNF的面积为.8(2022西南名校联盟联考)设直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，若M是线段AB的中点，直线l与直线OM(O是坐标原点)的斜率的乘积等于2，则此双曲线C的离心率为(D)A2B3CD解析设A(
4、x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的斜率为，直线OM的斜率为，即2.因为点A，B在双曲线C上，所以有1，1，化简可得：，所以有2，离心率为e.故选D.二、多选题9过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则直线l的方程可能为(ACD)AxBx2y10Cxy0Dxy0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k2 20.当2k20时，不符合题意，当2k20时，x1x2，x1x2，|AB|4.解得k，故l的方程为y(x)或
5、y(x)，即xy0或xy0，故选ACD.10(2021辽宁模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)且a2、b2、c2成等差数列，过双曲线的右焦点F(c,0)的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，3，则直线l的斜率可能取值为(AB)ABCD解析因为a2、b2、c2成等差数列，所以a2c22b22(c2a2)，所以ca.设左焦点为F1，FBm，则AF3m，F1B2am，F1A2a3m.令F1FA，则cos ，即2c22a23am0，将ca代入解得ma，从而解得cos ，故tan ，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为或.11已知M(1，3)，过抛物线C：y24x焦点F的直线与抛
6、物线C交于A，B两点，P为C上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(BCD)A过M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B|PM|与P到抛物线C的准线距离之和的最小值为3C若|AF|，|OM|，|BF|成等比数列，则|AB|10D抛物线C在A、B两点处的切线互相垂直解析设过M的直线方程为：xm(y3)1，又抛物线C的方程为：y24x，联立方程可得：化简得：y24my12m40(4m)24(12m4)16(m23m1)0时，解得m，即有两解又y3时，x，所以直线y3与抛物线y24x有一个交点过M与抛物线C相交且有一个公共点的直线有三条，选项A错误；F(1,0)，|PM|与P到抛物线C的准
7、线距离之和等于|PM|PF|，又|PM|PF|MF|3，选项B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线BA的方程为xny1，代入抛物线的方程可得y24ny40，所以y1y24，x1x21，因为|AF|BF|(x11)(x21)x1x2x1x21x1x22|OM|210，所以|AB|AF|BF|x1x2210，选项C正确；不妨设y200)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a.解析由抛物线yax2(a0)，所以抛物线的准线方程为y，由双曲线y21，则渐近线为yx，因为|AB|4，由双曲线的对称性可知y与yx的交点为，把交点代入yx可得，所以a.13
8、(2022湖南长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为yx3或y3或x0.解析当直线l的斜率k存在且k0时，由相切知直线l的方程为yx3；当k0时，直线l的方程为y3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x0.综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3或y3或x0.四、解答题14(2021黑龙江哈尔滨模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过C上一点P(1，t)(t0)作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，(1)证明：直
9、线MN的斜率是1；(2)若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程解析(1)P在抛物线y24x上，t2，P(1,2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，kMPkNP0，0，0，0，y1y24，kMN1.(2)由(1)问可设：l：yxm，则|MN|，|MF|x11，|NF|x21，|MN|28|MF|NF|，()28(x11)(x21)，即(x1x2)28x1x24(x1x2)40(*)，将直线l与抛物线C联立，可得：x2(2m4)xm20，所以，代入(*)式，可得m1满足0，l：yx1.15(2021江西南昌摸底)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F
10、2，其离心率为，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若ABF2的面积为，求直线l的方程解析(1)由两圆交点在椭圆上，2a134，得a2，由离心率为，得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)因为点A的坐标为(0,1)，所以直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程得：(kx1)21，即(4k21)x8kx0，因为xA0，所以xB，yB，又因为直线l与x轴的交点坐标为，点F2的坐标为(，0)，所以，解得k或k，所以，直线l的方程为yx1或yx1.B组能力提升1(2020天津)已知
11、椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程解析(1)由已知可得b3.记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以，椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为ykx3.由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A
12、的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线AB的方程为yx3或yx3.2(2022福建厦门质检)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点P.(1)求C的标准方程；(2)过C的右焦点的直线l与C交于A，B两点，C上一点M满足，求|OM|.解析(1)设焦距为2c，则c，设椭圆左右焦点分别为F1，F2，则|PF2|，|PF1|，2a|PF1|PF2|2，即a，则b1，椭圆方程为y21.(2)由得，当直线l：y0时，|BA|2，|OM|，舍去；设直线l：xmy，直线OM：xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去x并整理可得(m23)y22my10，由韦达定理可得y1y2，y1y2，|AB|y1y2|，联立，解得y2，得到|OM|yM|，依题意可得，解得m2，|OM|.
