1、解析几何中数学思想的应用函数与方程思想、转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想是高中数学的四大解题思想，在高中数学中有着广泛的应用，下就结合几个例题探讨一下它们在解析几何中的应用。一、函数与方程思想在解析几何中的应用例1、设椭圆中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程。解：设所求椭圆的直角坐标方程为，其中0.由可得 ，即.得.设椭圆上的点到点的距离为，则 . 其中.若，则时，有最大值.由题意得.由此得与矛盾.因此必有成立，于是当时，有最大值.由题意得，得，.所求椭圆方程为.点评：本题的这种解法是通过建立一个函数关系，使复杂的解析几何问题转化为
2、我们熟悉的二次函数给定区间的最值问题，但求解时一定要注意。二、转化化归思想在解析几何中的应用例2、若抛物线和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围。 解：抛物线和线段有两个不同的交点，等价于 有两个不同的解，进而转化为方程的根的分布问题。线段AB的方程为.由 消去y得.抛物线与线段AB有两个不同的交点.在上有两个不同的解.设，则的图象在上与x轴有两个不同的交点. 解得 .点评：本题利用转化的思想，将几何问题转化为代数问题，利用代数中的函数、方程、不等式等知识来解题，使得问题的解决显得清晰、简捷。三、数形结合思想在解析几何中的应用例3、已知，且，求的最小值。
3、 解：如图，式子可以看作两个点与之间的距离的平方.点M可以看作半圆上的点.点N可以看作等轴双曲线一支上的点. y P Q O x这样，问题就变成为半圆和双曲线一支上的点之间的最短距离，从图上可以得知双曲线的顶点P(3,3)距半圆最近.连接PO，其方程为y=x，交半圆于Q(1,1).于是，即所求的最小值为8.点评：数形结合是解析几何的特点，数形结合思想也是解析几何的主要思想，“由形联想数、由数看到行”，二者相互转化与结合是解题的技巧。四、分类讨论思想在解析几何中的应用例4、已知抛物线上的点，点，,设P到A的距离的最小值为求的表达式;当时,求的最大值与最小值.解： . ,当时， , （此时）.当时， . （此时）.= 当时，= 时,时, .,.点评：（1）分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，很多问题都涉及分类，一般步骤为：确定分类的对象和标准，进行合理的分类，逐类逐级讨论，归纳分类结果。 （2）一般的，抛物线，则有
