1、2.5椭圆及其方程25.1椭圆的标准方程新课程标准解读核心素养1.了解椭圆的实际背景数学抽象2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程直观想象天文学家是如何计算出日食(月食)出现的准确时间呢？原来，地球(月球)运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长问题(1)给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？(2)在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？知识点一椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足|PF1|PF2|2a的动
2、点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b21确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
3、提示：a，b的值及焦点所在的位置2根据椭圆方程，如何确定焦点位置？提示：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上1若椭圆1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为()A1 B2C4 D6答案：C2设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5C8 D10答案：D3若椭圆的焦距为6，ab1，则椭圆的标准方程为_答案：1或1求椭圆的标准方程例1(链接教科书第126页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(
4、0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点；(3)椭圆的焦点在x轴上，ab21，c.解(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为1(ab0).2a10，c4，b2a2c29，椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义，知2a 2，a.又c2，b2a2c21046，椭圆的标准方程为1.(3)c，a2b2c26.又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点
5、的位置由x2，y2项系数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解 跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的
6、标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆的定义及其应用例2(链接教科书第128页练习B2题)(1)椭圆1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为_；(2)椭圆1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|6，则F1PF2的大小为_解析(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AB|AF1|BF1|
7、，ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a.故ABF2的周长为4520.(2)由1，知a4，b3，c，|PF2|2a|PF1|2，|F1F2|2c2，cos F1PF2，F1PF260.答案(1)20(2)60椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解跟踪
8、训练1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|，则椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由已知得c1，|F1F2|2，所以4|PF1|PF2|2a，所以a2，所以b2a2c2413，所以椭圆的标准方程为1.答案：12如果椭圆1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是_解析：由题意知a10，|PF1|6，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a20，所以|PF2|20|PF1|20614.答案：14与椭圆有关的轨迹问题例3(链接教科书第127页例2)求过点P(3，0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为C1(3，0)，半径为R10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10.又P(3，0)，C1(3，0)，且|PC1|6b0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是_解析：|AF1|AF2|2a4得a2，原方程化为1，将A代入方程得b23，椭圆方程为1.答案：1