1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017郑州模拟)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yx C.yx D.y2x解析因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx，故选B.答案B2.(2015广东卷)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选C.答案C3.(2017山西省四校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)，右
2、焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为()A. B. C. D.解析右焦点F到渐近线的距离为2，F(c，0)到yx的距离为2，即2，又b0，c0，a2b2c2，b2，又点F到原点的距离为3，c3，a，离心率e.答案B4.已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2()A. B. C. D.解析由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.答案C5.(2017
3、成都调研)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B.2 C.6 D.4解析由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.答案D二、填空题6.(2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_.解析由已知，得a27，b23，则c27310，故焦距为2c2.答案27.(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.解析取B为双曲线右焦点，如图所示.四
4、边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案28.(2016山东卷)已知双曲线E：1(a0，b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.解析由已知得|AB|，|BC|2c，232c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).答案2三、解答题9.(2017安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲
5、线上，求证：0.(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26.(2)证明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，0)在双曲线上，9m26，即m230，0.10.已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左
6、、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.能力提升题组(建议用时：
7、20分钟)11.过双曲线C：1(a0，b0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx，因此可得点A的坐标为(a，b).设右焦点为F(c，0)，由已知可知c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即a2，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1，故选A.答案A12.若双曲线1(a0，b0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(
8、其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析由条件，得|OP|22ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|a，2aba2，2ba，又c2a2b2a2a2，e.答案C13.(2016浙江卷)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案(2，8)14.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积.解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.