1、第2课时函数的概念和图象(2) 教学过程一、 问题情境问题试比较下列两个函数的定义域和值域:(1) f(x)=x2+1, x-1, 0, 1;(2) f(x)=x2+1.讨论:自变量x的限制条件即为函数的定义域,函数值y的取值范围即为值域,值域由定义域内的变量对应而得到,因此研究函数的定义域更为必要.对于一般性的函数,其定义域又该如何求得呢?它有哪些限制条件呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 函数的定义域:所有输入值构成的集合.2. 函数的值域:所有输出值构成的集合.(二) 理解概念1. 给定函数时要指明函数的定义域.2. 对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域
2、是指使函数表达式有意义的输入值的集合.3. 对于从A到B的函数f,如果值域是C,那么CB,不能将B当成函数的值域.(三) 巩固概念求函数的定义域一般要注意考虑分母、偶次根式等有意义.三、 数学运用【例1】求下列函数的定义域:(1) f(x)=; (2) f(x)=.(见学生用书课堂本P13)处理建议考虑式子本身的意义,并根据有意义的条件列式.规范板书解(1) 要使函数有意义,必须4-x20,即-2x2. 函数f(x)=的定义域为-2, 2.(2) 要使函数有意义,必须即解得x-3或-3x-1或x4. 函数f(x)=的定义域为 x|x-3或-3x-1或x4.题后反思求函数定义域的步骤如下:列不等
3、式(组) 解不等式(组).变式已知函数y=f(x)的定义域为0, 1,求函数y=f(x-1)的定义域.规范板书解 函数y=f(x)的定义域为0, 1, 0x1. 0x-11,即1x2, 函数y=f(x-1)的定义域为1, 2.题后反思求抽象函数的定义域时应遵循两点原则:定义域都是相对于自变量x而言的;相同对应法则下的作用对象的取值范围相同.【例2】(教材P25例3)求下列函数的值域:(1) f(x)=(x-1)2+1, x-1, 0, 1, 2, 3;(2) f(x)=(x-1)2+1.(见学生用书课堂本P14)处理建议引导学生从定义域的不同进行分析.规范板书解(1) 函数f(x)的定义域为-
4、1, 0, 1, 2, 3,因为f(-1)=(-1)-12+1=5,同理f(0)=2, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=5,所以这个函数的值域为1, 2, 5.(2) 函数f(x)的定义域为R,因为(x-1)2+11,所以这个函数的值域为y|y1.变式1求函数y=x2-2x的值域.规范板书解y=x2-2x=-1-1,所以这个函数的值域为.题后反思本题可以让x取不同的范围,然后和学生一起讨论如何求函数的值域.【例3】求下列函数的值域:(1) y=3x+2(-1x1);(2)f(x)=2+.(见学生用书课堂本P14)处理建议先提出问题:“如何求给定区间上一次函数的值域?”然后学生讨论,教
5、师点评,最后示范解题.规范板书解(1) -1x1, -33x3, -13x+25,即-1y5, 这个函数的值域是-1, 5.(2) 0, +), 2+2, +), 这个函数的值域是y|y2.题后反思第(1)题也可以结合一次函数的图象来解决;第(2)题从根式的特点入手就变得很简单.变式求函数y=2x-5+的值域.处理建议对形如y=ax+b+(ac0)的无理函数,一般采用换元法(令t=)求解,换元时抓住一点:换元不能改变元的范围.规范板书解设 t=,则 t0, x=(15-t2). y=-t2+t+=-(t-1)2+3. t0, y3. 这个函数的值域是y|y3.题后反思利用换元法把原函数化为二次
6、函数之后,再根据图象来求二次函数的值域.*【例4】求下列函数的值域:(1) y=;(2) y=.处理建议通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,求出所求函数的值域.规范板书解(1) y=2-, 0, 2-2, 该函数的值域为yy2.(2) y=, x2=. x20, 0,即0, -y. 该函数的值域为.题后反思在求形如f(x)=的函数的值域时,一般的处理方法是常数分离法(即想办法把分子上的x化掉);对于像x2类有限制范围的变量,可反解,再利用其限制范围求函数值域.变式求函数y=(x3)的值域.规范板书解y=3+, x3, x+25, 0-, 33+. 该函数的值域为.题后反思在求形如f(x)=的函数的值域时,若定义域有范围,应先把函数解析式进行常数分离,然后再具体分析.四、 课堂练习1. 若函数f(x)=(x-1)2+1, x-1, 0, 1, 2, 3,则ff(0)=2.提示ff(0)=f(2)=2.2. 函数f(x)=+的定义域为-2, 2,值域为0.提示由题意得解得x-2, 2.f(-2)=f(2)=0.3. 函数y=x+的值域为.提示令t=(t0),则x=3-t2, y=3-t2+t=-+, t0, y.五、 课堂小结本节课归纳了简单函数的定义域和值域的求法.