1、第六节椭圆(二)1椭圆的焦点坐标为(5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知a13，c5，所以b2a2c2144.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为1.故选A.答案：A2已知A、B为椭圆C：1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且APB的最大值是，则实数m的值是()A. B. C. D.解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时，APB取得最大值，根据题意则有tan m.答案：B 3.设椭圆1(ab0)的离心率为，且点在椭圆上，则以椭圆的左、右焦点及短轴上的两个顶点为顶点的四边形的周长为()A22 B24 C2
2、0 D10答案：C4如图所示，椭圆1(a0)的离心率e，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tanBDC的值等于()A3 B3 C. D解析：由e知，.由图知tanDBCtanABO，tanDCBtanFCO.tanBDCtan(DBCDCB)3.答案：B5(2013福建调研)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析：由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.因为P为椭圆上一点，所以1.所以xx03x03(x02)22.因为2x02，所以的最大值在x02时取
3、得，且最大值等于6.答案：C6以椭圆1的右焦点F为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_解析：椭圆1的右焦点为，所求圆的半径为ra2，所以所求圆的方程为(x1)2y24.答案： (x1)2y247椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析：椭圆的顶点坐标为A(a,0)，B(a,0)，焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，|AF1|ac，|F1B|ac，|F1F2|2c.又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，4c2(ac)(ac)a2c2，即5c2a2.ac，离心率为e.答案：8
4、. 设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点A，B在椭圆上若5，则点A的坐标是_解析：设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B，又5，由椭圆的对称性可得5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又|F1A|，|F1B|，解得x10.点A的坐标为(0，1)答案：(0，1)9在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点作圆O的两切线互相垂直，则离心率e_.解析：设切线PA，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故a，解得e.答案：10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过坐标原点O且斜率为的直线l与C相交于A，B，|AB|2.(1)求a，b
5、的值；(2)若动圆(xm)2y21与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围解析：(1)依题意，直线l：y.不妨设A(2t，t)，B(2t，t)(t0)由|AB|2得20t240，t，所以解得a4，b2.(2)由消去y得3x28mx4m2120.动圆与椭圆没有公共点，当且仅当(8m)243(4m212)16m21440或|m|5，解得|m|3或|m|5，动圆(xm)2y21与直线y没有公共点当且仅当1，即|m|.解或得m的取值范围为m|m3或m5或3m或m511(2013佛山江门二模)在平面直角坐标系内，动圆C过定点F(1,0)，且与定直线x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹C2的方程； (2
6、)中心在O的椭圆C1的一个焦点为F，直线l过点M(4,0)若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程解析：(1)因为圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等，所以由抛物线定义知，C的轨迹C2是以F(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹C2的方程为y24x.(2)设P(m，n)，直线l方程为yk(x4)，则OP中点为，O、P两点关于直线yk(x4)对称，即解得将其代入抛物线方程，得：24，解得k21.设椭圆C1的方程为1，联立消去y得：(a2b2)x28a2x16a2a2b20由(8a2
7、)24(a2b2)(16a2a2b2)0，得a2b216，注意到b2a21，即2a217，可得a，即2a，因此，椭圆C1长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为1.12(2013江西卷)如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)由P在椭圆1上得，1，又e，得a24c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23.故椭圆方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.k1k22k2k2k2k1.又将x4代入yk(x1)得M(4,3k)，所以k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意