1、课时作业梯级练三十四数系的扩充与复数的引入一、选择题(每小题5分,共35分)1.设复数z=m+2+i,若z的实部与虚部相等,则实数m的值为()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选B.因为复数z=m+2+i的实部与虚部相等,所以m+2=1,解得m=-1.2.(2020枣庄模拟)已知a,b是实数,设i是虚数单位,若a+i=,则复数a+bi是()A.2-iB.2+iC.1+2iD.1-2i【解析】选C.因为a+i=,所以(a-1)+(a+1)i=bi,所以,所以a=1,b=2,所以a+bi=1+2i.3.向量a=所对应的复数是()A.z=1-2iB.z=1+2iC.z=-1+2iD.z=-2+i【
2、解析】选A.向量a=所对应的复数是z=1-2i.4.(2021北海模拟)已知(3+i)z=-2i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为(3+i)z=-2i,所以z=-i,所以对应的点的坐标是,所以对应的点在第三象限.5.已知复数在复平面内对应的点在直线y=x上,则实数a=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选C.因为=6-a+(2+3a)i,所以对应的点为,代入直线y=x可得6-a=2+3a,解得a=1.6.已知i是虚数单位,且z=,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限
3、D.第四象限【解析】选A.由z=2-i,故=2+i,所以其对应的点的坐标为(2,1),所以在第一象限.7.欧拉是一位杰出的数学家,为数学发展作出了巨大贡献,著名的欧拉公式:ei=cos +isin ,将三角函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,复数z=+在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z=+,所以z=+=+=+i+1+i=-i,所以在复平面内对应的点位于第四象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知复数z=a+bi(a,bR),其中i是
4、虚数单位,若复数z在复平面内对应的点在直线y=-x+1上,则a+b的值等于_.【解析】复数z=a+bi(a,bR),复数z在复平面内对应的点(a,b)在直线y=-x+1上,所以b=-a+1,所以a+b=1.答案:19.(2020天水模拟)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则=_.【解析】可知z1=-2-i,z2=i,所以=-1+2i.答案:-1+2i10.(2021西安模拟)若(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=_.【解析】因为=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,所以b=3,a=-4,则a-b=-7.答案:-7
5、1.(5分)(2021温州模拟)若复数z=+ai(i为虚数单位,aR)的实部与虚部互为相反数,则a=()A.-2B.-1C.0D.1【解析】选B.=+i,所以z=+i,因为复数z=+ai的实部与虚部互为相反数,所以+=0,解得a=-1.2.(5分)(2021泸州模拟)若复数(aR)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.=a+1+(1-a)i是纯虚数,则a=-1,2a+2i=-2+2i,对应点为(-2,2),在第二象限.3.(5分)已知复数z满足z=25,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C
6、.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z=3+4i,则=3-4i,复数在复平面内对应的点是,在第四象限.4.(5分)复数z满足z+z+-17=0,则的最大值为()A.B.3C.4D.5【解析】选D.设复数z在复平面上的对应点为Z(x,y),由z+z+=17,可得x2+y2+2x=17,即+y2=18,所以点Z的轨迹是以为圆心,3为半径的圆,圆心到点的距离为d=2,所以的最大值为r+d=5.5.(5分)(2020衡阳模拟)若复数z满足=,且z在复平面内对应的点为,则()A.x=1B.y=1C.x+y=0D.x-y=0【解析】选C.由已知条件可得,=即=,化简得x+y=0.6.(5分)(2021
7、商丘模拟)已知i为虚数单位,则-=()A.-2iB.2iC.-2D.2【解析】选B.-=2i.7.(5分)设复数z满足z=3+i(i是虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由z=3+i得z=1-i,所以=1+i,故其在复平面内对应的点为(1,1),在第一象限.8.(5分)(2021咸阳模拟)设复数z满足=1,z在复平面内对应的点为P,则点P的轨迹方程为()A.+y2=1B.+y2=1C.x2+=1D.x2+=1【解析】选D.由z在复平面内对应的点为P,且复数z满足=1,由复数的模的几何意义可得,z在复平面内对应的点P到复数-i在复
8、平面内对应的点A的距离为1,即=1,则点P的轨迹方程为x2+=1.9.(5分)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=_.【解析】方法一:设z1=a+bi(aR,bR),z2=c+di(cR,dR),所以z1+z2=a+c+(b+d)i=+i,所以又|z1|=|z2|=2,所以a2+b2=4,c2+d2=4,所以(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4,所以ac+bd=-2,所以=2.方法二:如图所示,设复数z1,z2所对应的点为Z1,Z2,=+,由已知=2=,所以平行四边形OZ1PZ2为菱形,且OPZ1,OPZ2都是正三角形,所以Z1OZ2=120,|Z1Z2|2=|OZ1|2+|OZ2|2-2|OZ1|OZ2|cos 120=22+22-222=12,所以=2.答案:210.(5分)当复数z=(m+3)+(m-1)i(mR)的模最小时,=_.【解析】|z|=,所以当m=-1时,|z|min=2,此时=-1+i.答案:-1+i