1、2.2.3两条直线的位置关系新课程标准解读核心素养1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标数学运算2.能根据直线的斜率或方程的系数判定两条直线平行或垂直逻辑推理如图所示是人们平常所说的飞机拉烟问题每一道拉烟之间有怎样的位置关系？知识点两条直线的位置关系1直线斜截式判定法当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直2直线一般式判定法1l1l2k1k2成立的前提条件是什么？提示：(1)两条直线的斜率都存在(2)l1与l2不重合2l1l2k1k21成立的前提条件是什么？提示：(1)两条直线的斜率都存在(2)k10且k20.1判断
2、正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行()答案：(1)(2)(3)(4)2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k21.3直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4，1) B(1，4)C D解析：选C由方程组得即直线x2y20与直线2xy30
3、的交点坐标是.4l1过点A(m，1)，B(3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1l2，则m_解析：l1l2，且k21，k11，m0.答案：0两条直线相交、平行、重合的判定例1已知两直线l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m.(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，即(m3)(m1)0，即m3，且m1.故当m3，且m1时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有即即
4、即m1.故当m1时，直线l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有即m3.故当m3时，直线l1与l2重合根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行跟踪训练l1：9xya20；l2：ax(a2)y10.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解：由题意：A19，B11，C1a2，A2a，B2a2，C21，(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即9(a2)a(1)0，a.故当a时，直线l1与l2
5、相交(2)若l1l2，则有即当a时，l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有由(2)知不成立，直线l1与l2不重合两条直线垂直的判定例2(1)l1经过点A(3，2)，B(3，1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值解(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得
6、k1，k2.由l1l2，知k1k21，即1，解得a0.综上所述，a的值为0或5.利用斜率公式判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步；(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论注意若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况跟踪训练分别判断下列两直线是否垂直：(1)直线l1的斜率为10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(2)直线l
7、1经过A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(2，4)，Q(2，4)；(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x3y10平行.解：(1)直线l1的斜率为k110，直线l2的斜率为k2，k1k2101.所以直线l1与l2垂直(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直(3)直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，k1k21，所以直线l1与l2不垂直直线平行与垂直的综合应用例3如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，R(2t，2)，其中t0.试判断
8、四边形OPQR的形状解由斜率公式得kOPt，kQRt，kOR，kPQ.所以kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形又kOPkOR1，所以OPOR，故四边形OPQR为矩形母题探究1(变条件)将本例中的四个点，改为“A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状”解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以A
9、BAD，故四边形ABCD为直角梯形2(变条件、变设问)将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，试求顶点R的坐标”解：因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知解得所以R点的坐标是(2t，2).1利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标；(2)证明两直线平行时，仅仅有k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况；(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，讨论可能出现的
10、其他情况跟踪训练已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足ABCD，且ADBC，则点D的坐标为_解析：设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB1，直线CD的斜率kCD，直线CB的斜率kCB，直线AD的斜率kAD，由ABCD，且ADBC，得解得所以D的坐标为(10，6).答案：(10，6)1直线xay70与直线(a1)x2y140平行，则a的值是()A1 B2C1或2 D1或2解析：选B由已知，得a(a1)20，解得a2或a1.当a1时，两直线重合，a2.2.如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则l2的斜率为()A BC D解析：选Ck1tan 30，又l1l2，k1k21，k2.3已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为()A8 B0C2 D10解析：选A由已知，得2，m8.4已知直线l1的倾斜角为45，直线l2的斜率为km23，若l1l2，则m的值为_解析：由题意知m23tan 45，解得m2.答案：25当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点C(3，2)，D(0，7)的直线垂直；(3)与过两点E(2，3)，F(4，9)的直线平行解：(1)由kABtan 1351，解得m或m1.(2)由kAB，且kCD3.则，解得m或m3.(3)令2，解得m或m1.